円x2乗+y2乗ー7＝0と直線x+y-k=0が異なる2点で交わっているときkの値を求めよ

与えられた円の方程式は次のようになります：

\[
x^2 + y^2 - 7 = 0 \quad \text{(1)}
\]

これは中心 \((0, 0)\)、半径 \(\sqrt{7}\) の円です。

また、直線の方程式は

\[
x + y - k = 0 \quad \text{(2)}
\]

です。この円と直線が異なる2点で交わるときの \(k\) の値を求めます。

### ステップ 1: 直線の方程式を代入する
(2) 式より、直線の式を \(y = k - x\) に変形し、これを円の方程式 (1) に代入します。

\[
x^2 + (k - x)^2 - 7 = 0
\]

これを展開します。

\[
x^2 + (k^2 - 2kx + x^2) - 7 = 0
\]

\[
2x^2 - 2kx + k^2 - 7 = 0
\]

### ステップ 2: 判別式を使って条件を求める
これは \(x\) に関する2次方程式です。円と直線が異なる2点で交わるためには、この2次方程式の判別式 \(D\) が正である必要があります。2次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の判別式は

\[
D = b^2 - 4ac
\]

です。ここで \(a = 2\)、\(b = -2k\)、\(c = k^2 - 7\) ですので、判別式を計算します。

\[
D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - 7)
\]
\[
D = 4k^2 - 8(k^2 - 7)
\]
\[
D = 4k^2 - 8k^2 + 56
\]
\[
D = -4k^2 + 56
\]

### ステップ 3: 判別式が正である条件を求める
判別式が正であるためには、

\[
-4k^2 + 56 > 0
\]

を解きます。

\[
-4k^2 > -56
\]

\[
k^2 < 14
\]

よって、

\[
k < \sqrt{14} \quad \text{かつ} \quad k > -\sqrt{14}
\]

したがって、\(k\) の値は \( -\sqrt{14} < k < \sqrt{14} \) です。

### 答え:
\(k\) の値は \( -\sqrt{14} < k < \sqrt{14} \) です。

質問があればお知らせください。また、次のような関連問題を考えてみてください。

1. 円 \(x^2 + y^2 - 7 = 0\) の接線の方程式を求めよ。
2. \(k = 0\) のとき、直線と円が交わる点を求めよ。
3. 直線が円に接するための \(k\) の値を求めよ。
4. \(k = 2\) のとき、交点の座標を求めよ。
5. \(k\) の範囲が異なる2点で交わらない条件を求めよ。

**Tip:** 判別式の符号は、解の個数を判定する際に非常に重要です。

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円x^2 + y^2 - 7 = 0と直線x + y - k = 0が異なる2点で交わる場合のkの範囲を判別式を用いて求める方法を解説します。この問題は高校レベルの幾何学と2次方程式に関する知識を含み、判別式の利用がポイントです。

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