Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°.  La recta inicial pasa por los puntos F (-2, 1) y H (9, 7) y la recta final pasa por los puntos J (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es -2.  Calcula la ordenada de A.


Para encontrar la ordenada del punto \( A \) en la segunda recta, podemos seguir los siguientes pasos:

### Paso 1: Calcular la pendiente de la primera recta
La pendiente de una recta que pasa por dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) se calcula con la fórmula:

\[
m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]

Para los puntos \( F(-2, 1) \) y \( H(9, 7) \), sustituimos en la fórmula:

\[
m_1 = \frac{7 - 1}{9 - (-2)} = \frac{6}{11}
\]

Así que la pendiente de la primera recta es \( m_1 = \frac{6}{11} \).

### Paso 2: Relación entre las pendientes de rectas que forman un ángulo de 45°
Si dos rectas se cortan formando un ángulo \( \theta \), las pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \) de esas rectas están relacionadas por la siguiente fórmula:

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|
\]

Dado que el ángulo es de 45°, sabemos que \( \tan(45^\circ) = 1 \). Entonces:

\[
1 = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|
\]

Sustituyendo \( m_1 = \frac{6}{11} \):

\[
1 = \left| \frac{m_2 - \frac{6}{11}}{1 + \frac{6}{11} m_2} \right|
\]

Resolver esta ecuación nos dará la pendiente \( m_2 \) de la segunda recta.

### Paso 3: Resolver la ecuación para \( m_2 \)
Primero, resolvamos ambas posibilidades (positiva y negativa) para la ecuación:

\[
\frac{m_2 - \frac{6}{11}}{1 + \frac{6}{11} m_2} = 1 \quad \text{y} \quad \frac{m_2 - \frac{6}{11}}{1 + \frac{6}{11} m_2} = -1
\]

Resolveremos estas ecuaciones para obtener \( m_2 \), la pendiente de la segunda recta.

### Paso 4: Encontrar la ordenada del punto A
Sabemos que la segunda recta pasa por el punto \( J(3, 9) \) y tiene pendiente \( m_2 \). La ecuación de la recta se puede escribir en la forma punto-pendiente:

\[
y - y_1 = m_2 (x - x_1)
\]

Usamos \( J(3, 9) \) y \( m_2 \) para obtener la ecuación de la recta, y luego sustituimos \( x = -2 \) para encontrar la ordenada \( y \) del punto \( A(-2, y) \).

Voy a proceder con estos cálculos.Las soluciones para la pendiente \( m_2 \) de la segunda recta son:

- \( m_2 = 3.4 \)
- \( m_2 = -0.294 \)

Ahora, procedemos a encontrar la ordenada del punto \( A \). Como la recta pasa por el punto \( J(3, 9) \), utilizaremos ambas pendientes en la ecuación de la recta y evaluaremos en \( x = -2 \) para obtener la ordenada \( y \) de \( A(-2, y) \).

Voy a continuar con los cálculos para ambos casos.Las posibles ordenadas para el punto \( A(-2, y) \) son:

1. Si la pendiente \( m_2 = 3.4 \), entonces \( y = -8 \).
2. Si la pendiente \( m_2 = -0.294 \), entonces \( y = 10.47 \).

Ambas soluciones son válidas dependiendo de la pendiente que se utilice para la segunda recta. Dado que no hay más restricciones, estas son las dos posibles respuestas para la ordenada de \( A \).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular o ayuda adicional con este problema?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se obtienen las pendientes de dos rectas que forman un ángulo específico?
2. ¿Cuál es el significado geométrico de la fórmula de la tangente para ángulos entre rectas?
3. ¿Cómo podemos verificar qué solución es la correcta entre las dos posibles pendientes?
4. ¿Cómo afecta la pendiente negativa o positiva a la intersección de dos rectas?
5. ¿Qué otros métodos pueden emplearse para resolver el problema sin usar la tangente?

**Tip:** Si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es siempre \( -1 \).

Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos F (-2, 1) y H (9, 7) y la recta final pasa por los puntos J (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es -2. Calcula la ordenada de A.

Resuelve el problema de geometría en el que dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. Aprende a calcular la pendiente de las rectas, aplicar la fórmula de la tangente y encontrar la ordenada del punto A, donde x = -2. Este problema abarca conceptos clave como pendientes de rectas y ángulos entre líneas.

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