Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°.  La recta inicial pasa por los puntos F (-2, 1) y H (9, 7) y la recta final pasa por los puntos J (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es -2.  Calcula la ordenada de A.

Para resolver este problema, primero necesitamos encontrar las ecuaciones de ambas rectas, y luego usaremos la información de que el ángulo entre las rectas es de 45° para calcular la ordenada del punto \( A \).

### Paso 1: Encontrar la ecuación de la primera recta (recta inicial)
La recta inicial pasa por los puntos \( F(-2, 1) \) y \( H(9, 7) \). Usamos la fórmula de la pendiente:

\[
m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 1}{9 - (-2)} = \frac{6}{11}
\]

Con la pendiente \( m_1 = \frac{6}{11} \) y usando el punto \( F(-2, 1) \), encontramos la ecuación de la recta usando la fórmula de la recta en forma punto-pendiente:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
\[
y - 1 = \frac{6}{11}(x + 2)
\]
\[
y - 1 = \frac{6}{11}x + \frac{12}{11}
\]
\[
y = \frac{6}{11}x + \frac{23}{11}
\]

### Paso 2: Encontrar la ecuación de la segunda recta (recta final)
La segunda recta pasa por el punto \( J(3, 9) \) y por el punto \( A(-2, y_A) \). Para encontrar la pendiente de esta recta, usamos la misma fórmula de la pendiente:

\[
m_2 = \frac{y_A - 9}{-2 - 3} = \frac{y_A - 9}{-5}
\]

### Paso 3: Condición del ángulo entre las rectas
Sabemos que las rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La fórmula que relaciona el ángulo entre dos rectas con sus pendientes es:

\[
\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|
\]

Dado que el ángulo \( \theta = 45^\circ \), tenemos que \( \tan 45^\circ = 1 \). Entonces:

\[
1 = \left| \frac{\frac{y_A - 9}{-5} - \frac{6}{11}}{1 + \left(\frac{6}{11}\right)\left(\frac{y_A - 9}{-5}\right)} \right|
\]

### Paso 4: Resolver para \( y_A \)
Ahora resolvemos esta ecuación para encontrar \( y_A \). Primero simplificamos el numerador y el denominador de la expresión, y luego despejamos \( y_A \).

Multiplicamos y simplificamos la ecuación para llegar al valor final de la ordenada \( y_A \).Hubo un inconveniente al resolver la ecuación con el valor absoluto de forma directa. Para simplificar el proceso, podemos eliminar el valor absoluto al considerar los dos casos posibles: 

1. El numerador es igual a \( 1 \)
2. El numerador es igual a \( -1 \)

Procederé a resolver cada caso por separado.Los dos posibles valores para la ordenada del punto \( A \) son:

1. \( y_A = -8 \)
2. \( y_A = 10.47 \)

Dado que no se ha especificado una restricción adicional, ambos valores son posibles soluciones para la ordenada del punto \( A \). Si tienes más información sobre el problema, como cuál podría ser más adecuado, podemos ajustar la respuesta.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas que pueden interesarte:
1. ¿Cómo se calcula la pendiente entre dos puntos en un plano?
2. ¿Qué fórmula se usa para encontrar el ángulo entre dos rectas?
3. ¿Cómo influye la tangente del ángulo entre dos rectas en su intersección?
4. ¿Qué significa la pendiente en el contexto geométrico?
5. ¿Qué sucede si el ángulo entre dos rectas es diferente de 45°?

**Tip:** La pendiente es fundamental para entender la inclinación de una recta y se utiliza en muchos contextos de la geometría analítica.

Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos F (-2, 1) y H (9, 7) y la recta final pasa por los puntos J (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es -2. Calcula la ordenada de A.

Aprende a calcular la ordenada del punto A cuando dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. Utiliza ecuaciones de rectas y la relación entre pendientes y ángulos. Problema adecuado para estudiantes de los grados 9-11.

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