Pada kubus ABCD. EFGH terdapat titik P yakni perpotongan diagonal AC dan BD. Jika a adalah besar sudut antara PE dan EA maka nilai tan a =

Misalkan kubus ABCD.EFGH memiliki sisi panjang \( s \). Di dalam kubus tersebut, titik \( P \) merupakan titik perpotongan diagonal \( AC \) dan \( BD \) pada bidang persegi \( ABCD \).

Mari kita coba menemukan besar sudut \( a \) antara vektor \( \mathbf{PE} \) dan vektor \( \mathbf{EA} \), serta menentukan \( \tan a \).

1. Misalkan kubus berada pada koordinat kartesian, dengan titik-titik koordinat sebagai berikut:
   - \( A(0, 0, 0) \)
   - \( B(s, 0, 0) \)
   - \( C(s, s, 0) \)
   - \( D(0, s, 0) \)
   - \( E(0, 0, s) \)
   - \( F(s, 0, s) \)
   - \( G(s, s, s) \)
   - \( H(0, s, s) \)

2. Titik \( P \) adalah titik perpotongan diagonal \( AC \) dan \( BD \), yang terletak di tengah persegi \( ABCD \). Maka, koordinat titik \( P \) adalah:
   \[
   P = \left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}, 0\right)
   \]

3. Untuk menghitung sudut antara vektor \( \mathbf{PE} \) dan \( \mathbf{EA} \), kita harus mencari vektor- vektor tersebut:
   - Vektor \( \mathbf{PE} \) adalah:
     \[
     \mathbf{PE} = E - P = (0, 0, s) - \left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}, 0\right) = \left(-\frac{s}{2}, -\frac{s}{2}, s\right)
     \]
   - Vektor \( \mathbf{EA} \) adalah:
     \[
     \mathbf{EA} = A - E = (0, 0, 0) - (0, 0, s) = (0, 0, -s)
     \]

4. Untuk menghitung \( \tan a \), kita perlu menggunakan rumus perkalian titik dan panjang vektor. Pertama, kita hitung perkalian titik \( \mathbf{PE} \cdot \mathbf{EA} \):
   \[
   \mathbf{PE} \cdot \mathbf{EA} = \left(-\frac{s}{2}\right) \cdot 0 + \left(-\frac{s}{2}\right) \cdot 0 + s \cdot (-s) = -s^2
   \]

5. Panjang masing-masing vektor:
   \[
   |\mathbf{PE}| = \sqrt{\left(-\frac{s}{2}\right)^2 + \left(-\frac{s}{2}\right)^2 + s^2} = \sqrt{\frac{s^2}{4} + \frac{s^2}{4} + s^2} = \sqrt{\frac{3s^2}{2}} = \frac{s\sqrt{6}}{2}
   \]
   \[
   |\mathbf{EA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-s)^2} = s
   \]

6. Akhirnya, kita bisa menghitung nilai \( \cos a \) menggunakan rumus:
   \[
   \cos a = \frac{\mathbf{PE} \cdot \mathbf{EA}}{|\mathbf{PE}| |\mathbf{EA}|} = \frac{-s^2}{\left(\frac{s\sqrt{6}}{2}\right) \cdot s} = \frac{-2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}
   \]

   Namun, untuk \( \tan a \), kita perlu memperhatikan bahwa:
   \[
   \tan a = \frac{|\mathbf{PE} \times \mathbf{EA}|}{\mathbf{PE} \cdot \mathbf{EA}}
   \]
   
This

Explore how to calculate the value of tan a in a cube using vector geometry. This problem involves finding the angle between vectors PE and EA in a cube, including step-by-step calculations and geometric insights. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation