Pada kubus ABCD.EFGH terdapat titik P yakni perpotongan diagonal AC dan BD. Jika a adalah besar sudut antara PE dan EA maka nilai tan a =

Diketahui kubus \( ABCD.EFGH \), dengan \( P \) adalah titik perpotongan diagonal \( AC \) dan \( BD \). Kita diminta mencari nilai \( \tan \alpha \) dengan \( \alpha \) adalah besar sudut antara vektor \( \mathbf{PE} \) dan \( \mathbf{EA} \).

### Langkah-langkah Penyelesaian:

1. **Koordinat Titik-Titik:**
   - Asumsikan panjang rusuk kubus adalah \( s \), dan letakkan titik \( A \) di \( (0, 0, 0) \).
   - Titik-titik lainnya:
     - \( B( s, 0, 0 ) \)
     - \( C( s, s, 0 ) \)
     - \( D( 0, s, 0 ) \)
     - \( E( 0, 0, s ) \)
     - \( F( s, 0, s ) \)
     - \( G( s, s, s ) \)
     - \( H( 0, s, s ) \)

2. **Koordinat Titik P:**
   - \( P \) adalah titik perpotongan diagonal \( AC \) dan \( BD \).
   - Karena \( P \) adalah titik tengah dari kedua diagonal, maka:
     \[
     P = \left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}, 0\right)
     \]

3. **Vektor PE dan EA:**
   - Vektor \( \mathbf{PE} = \mathbf{E} - \mathbf{P} = (0, 0, s) - \left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}, 0\right) = \left(-\frac{s}{2}, -\frac{s}{2}, s\right) \)
   - Vektor \( \mathbf{EA} = \mathbf{A} - \mathbf{E} = (0, 0, 0) - (0, 0, s) = (0, 0, -s) \)

4. **Menghitung Nilai \( \tan \alpha \):**
   - Sudut \( \alpha \) antara dua vektor dapat dihitung menggunakan rumus:
     \[
     \cos \alpha = \frac{\mathbf{PE} \cdot \mathbf{EA}}{|\mathbf{PE}| \cdot |\mathbf{EA}|}
     \]
   - Hasil perkalian dot:
     \[
     \mathbf{PE} \cdot \mathbf{EA} = \left(-\frac{s}{2}\right) \times 0 + \left(-\frac{s}{2}\right) \times 0 + s \times (-s) = -s^2
     \]
   - Besar vektor:
     \[
     |\mathbf{PE}| = \sqrt{\left(-\frac{s}{2}\right)^2 + \left(-\frac{s}{2}\right)^2 + s^2} = \sqrt{\frac{s^2}{4} + \frac{s^2}{4} + s^2} = \sqrt{\frac{3s^2}{2}} = \frac{s\sqrt{6}}{2}
     \]
     \[
     |\mathbf{EA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-s)^2} = s
     \]
   - Substitusi ke rumus cosinus:
     \[
     \cos \alpha = \frac{-s^2}{\frac{s\sqrt{6}}{2} \times s} = \frac{-2s^2}{s^2\sqrt{6}} = \frac{-2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}
     \]
   - Menggunakan \( \tan \alpha = \sqrt{\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} \):
     \[
     \tan \alpha = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2}{\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{6}{9}}{\frac{6}{9}}} = \sqrt{\frac{\frac{3}{9}}{\frac{6}{9}}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
     \]

Jadi, nilai \( \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? 

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi:
1. Bagaimana menentukan titik perpotongan antara dua diagonal pada bangun ruang lainnya?
2. Bagaimana cara menghitung sudut antara dua garis dalam ruang tiga dimensi?
3. Bagaimana jika titik P bukanlah titik tengah, bagaimana perhitungannya berubah?
4. Apa itu rumus perkalian dot dan apa kegunaannya dalam geometri ruang?
5. Bagaimana menghitung jarak antara dua titik dalam ruang tiga dimensi?

**Tip:** Dalam masalah geometri ruang, mengidentifikasi dengan tepat posisi setiap titik dan memahami hubungan antar vektor sangat penting untuk menyelesaikan masalah dengan benar.

Learn how to find the tangent of the angle between vectors PE and EA in 3D geometry using cube ABCD.EFGH and point P at the intersection of diagonals AC and BD. Detailed step-by-step solution provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation