Para calcular o cosseno do ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo, siga estes passos:

1. Definição do problema: Vamos considerar um cubo com aresta de comprimento $a$. As diagonais que queremos considerar são as diagonais principais, ou seja, as diagonais que atravessam o cubo de um vértice a outro vértice oposto.

2. Coordenadas dos vértices: Podemos colocar um vértice do cubo na origem (0,0,0) e os demais vértices serão: $(a,0,0)$, $(0,a,0)$, $(0,0,a)$, $(a,a,0)$, $(a,0,a)$, $(0,a,a)$ e $(a,a,a)$.

3. Diagonais principais: Duas diagonais principais seriam, por exemplo, as que vão de $(0,0,0)$ a $(a,a,a)$ e de $(0,0,a)$ a $(a,a,0)$.

4. Vetores das diagonais: Os vetores das diagonais principais são: $\vec{d_1} = (a, a, a) \quad \text{e} \quad \vec{d_2} = (a, a, -a)$

5. Produto escalar: O produto escalar entre esses dois vetores é: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = a \cdot a + a \cdot a + a \cdot (-a) = a^2 + a^2 - a^2 = a^2$

6. Normas dos vetores: A norma de cada vetor é: $\|\vec{d_1}\| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ $\|\vec{d_2}\| = \sqrt{a^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

7. Cosseno do ângulo: O cosseno do ângulo $\theta$ entre $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ é dado por: $\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{\|\vec{d_1}\| \|\vec{d_2}\|}$ Substituindo os valores encontrados: $\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$

Portanto, o cosseno do ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo é $\cos \theta = \frac{1}{3}$.

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 8 perguntas relativas para expandir esse tópico:

1. Como se determina o seno do mesmo ângulo?
2. Qual é o valor do ângulo em graus e radianos?
3. Como se calcula o ângulo entre duas arestas adjacentes de um cubo?
4. Qual a relação entre as diagonais de um cubo e a diagonal de uma face do cubo?
5. Como calcular o cosseno do ângulo formado entre as diagonais de um paralelepípedo?
6. Qual é a diferença entre uma diagonal de um cubo e uma diagonal de uma pirâmide quadrangular?
7. Como calcular o comprimento de uma diagonal de um cubo?
8. Qual é o volume de um cubo de aresta $a$?

Dica: Quando se trabalha com vetores no espaço tridimensional, o produto escalar é uma ferramenta poderosa para determinar ângulos entre vetores.