calcule o cosseno do ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo

Para calcular o cosseno do ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo, siga estes passos:

1. **Definição do problema**:
   Vamos considerar um cubo com aresta de comprimento \( a \). As diagonais que queremos considerar são as diagonais principais, ou seja, as diagonais que atravessam o cubo de um vértice a outro vértice oposto.

2. **Coordenadas dos vértices**:
   Podemos colocar um vértice do cubo na origem (0,0,0) e os demais vértices serão: \( (a,0,0) \), \( (0,a,0) \), \( (0,0,a) \), \( (a,a,0) \), \( (a,0,a) \), \( (0,a,a) \) e \( (a,a,a) \).

3. **Diagonais principais**:
   Duas diagonais principais seriam, por exemplo, as que vão de \( (0,0,0) \) a \( (a,a,a) \) e de \( (0,0,a) \) a \( (a,a,0) \).

4. **Vetores das diagonais**:
   Os vetores das diagonais principais são:
   \[
   \vec{d_1} = (a, a, a) \quad \text{e} \quad \vec{d_2} = (a, a, -a)
   \]

5. **Produto escalar**:
   O produto escalar entre esses dois vetores é:
   \[
   \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = a \cdot a + a \cdot a + a \cdot (-a) = a^2 + a^2 - a^2 = a^2
   \]

6. **Normas dos vetores**:
   A norma de cada vetor é:
   \[
   \|\vec{d_1}\| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
   \]
   \[
   \|\vec{d_2}\| = \sqrt{a^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
   \]

7. **Cosseno do ângulo**:
   O cosseno do ângulo \(\theta\) entre \(\vec{d_1}\) e \(\vec{d_2}\) é dado por:
   \[
   \cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{\|\vec{d_1}\| \|\vec{d_2}\|}
   \]
   Substituindo os valores encontrados:
   \[
   \cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}
   \]

Portanto, o cosseno do ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo é \(\cos \theta = \frac{1}{3}\).

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Aqui estão 8 perguntas relativas para expandir esse tópico:
1. Como se determina o seno do mesmo ângulo?
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6. Qual é a diferença entre uma diagonal de um cubo e uma diagonal de uma pirâmide quadrangular?
7. Como calcular o comprimento de uma diagonal de um cubo?
8. Qual é o volume de um cubo de aresta \( a \)?

**Dica:** Quando se trabalha com vetores no espaço tridimensional, o produto escalar é uma ferramenta poderosa para determinar ângulos entre vetores.

Learn how to calculate the cosine of the acute angle formed by two diagonals of a cube. This problem involves geometry, vectors, and the dot product formula. Suitable for high school students.

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