Triangeln  △ABC

  är rätvinklig med rät vinkel vid hörnet  C

  och vinkel  β

  vid hörnet  B

 . Beräkna  a=|BC|

 , givet att  c=|AB|=9

 , och att  tanβ=8/5

 .

För att beräkna längden \( a = |BC| \) i en rätvinklig triangel \( \triangle ABC \), där vinkeln \( \beta \) är känd och \( \tan \beta = \frac{8}{5} \), samt hypotenusan \( c = |AB| = 9 \), kan vi använda trigonometriska identiteter och Pythagoras sats.

Vi vet att:

\[
\tan \beta = \frac{\text{motsatta kateten}}{\text{närliggande kateten}} = \frac{a}{b}
\]

Här är \( a = |BC| \) och \( b = |AC| \). Givet att \( \tan \beta = \frac{8}{5} \), har vi:

\[
\frac{a}{b} = \frac{8}{5}
\]

Detta innebär att:

\[
a = \frac{8}{5}b \quad \text{(ekvation 1)}
\]

Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi använda Pythagoras sats:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Substituera \( c = 9 \):

\[
a^2 + b^2 = 9^2
\]

\[
a^2 + b^2 = 81 \quad \text{(ekvation 2)}
\]

Nu kan vi ersätta \( a \) från ekvation 1 i ekvation 2:

\[
\left(\frac{8}{5}b\right)^2 + b^2 = 81
\]

\[
\frac{64}{25}b^2 + b^2 = 81
\]

Multiplicera hela ekvationen med 25 för att eliminera bråket:

\[
64b^2 + 25b^2 = 2025
\]

\[
89b^2 = 2025
\]

Lös för \( b^2 \):

\[
b^2 = \frac{2025}{89}
\]

\[
b^2 \approx 22.75
\]

Ta kvadratroten av båda sidorna:

\[
b \approx \sqrt{22.75} \approx 4.77
\]

Använd nu värdet av \( b \) i ekvation 1 för att hitta \( a \):

\[
a = \frac{8}{5}b \approx \frac{8}{5} \times 4.77 \approx 7.63
\]

Så, längden på sidan \( a = |BC| \) är ungefär 7.63.

Vill du ha mer detaljer eller har du några frågor?

Här är några relaterade frågor:
1. Hur hittar man vinkeln \( \beta \) i grader från \( \tan \beta = \frac{8}{5} \)?
2. Vad är längden på sidan \( b = |AC| \) i denna triangel?
3. Hur kan man använda sinus och cosinus för att hitta längderna på sidorna i en rätvinklig triangel?
4. Kan vi bevisa resultatet med hjälp av trigonometri och enhetscirkeln?
5. Hur skulle resultatet ändras om hypotenusan hade en annan längd?
6. Vilken roll spelar Pythagoras sats i beräkningen av sidorna i en rätvinklig triangel?
7. Kan du förklara hur man löser en liknande uppgift om endast en vinkel och en sida är känd?
8. Hur kan man grafiskt representera problemet för att bättre förstå relationerna mellan sidorna?

**Tips:** När du arbetar med rätvinkliga trianglar, kom ihåg att tangens av en vinkel är förhållandet mellan motstående och närliggande katet, vilket är användbart för att hitta okända sidlängder.

Learn how to calculate the side length a = |BC| in a right triangle △ABC, where angle β is given with tan β = 8/5 and the hypotenuse c = |AB| = 9. Step-by-step solution using trigonometric identities and the Pythagorean theorem provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation