Um circuito contém 5 elementos. Cada elemento pode falhar com a probabilidade de 12.\%. Qual a probabilidade de que falhem exatamente dois elementos?

Esse problema também pode ser resolvido usando a **distribuição binomial**, onde cada elemento do circuito pode falhar ou não de forma independente.

### Passos para calcular a probabilidade:

1. **Definimos as variáveis:**
   - \( n = 5 \) (número total de elementos)
   - \( k = 2 \) (número de elementos que queremos que falhem)
   - \( p = 0,12 \) (probabilidade de falha de um elemento)
   - \( q = 1 - p = 0,88 \) (probabilidade de que um elemento não falhe)

2. **Fórmula da probabilidade binomial:**

   \[
   P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
   \]

   Onde \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial:

   \[
   \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
   \]

3. **Aplicando os valores na fórmula:**

   \[
   \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10
   \]

   Portanto:

   \[
   P(X = 2) = 10 \cdot (0,12)^2 \cdot (0,88)^{3}
   \]

   Calculando cada termo:

   \[
   (0,12)^2 = 0,0144
   \]

   \[
   (0,88)^3 \approx 0,6815
   \]

   Então:

   \[
   P(X = 2) = 10 \cdot 0,0144 \cdot 0,6815 \approx 10 \cdot 0,0098 = 0,098
   \]

   A probabilidade de que exatamente dois elementos falhem é aproximadamente **9,8%**.

### Resumo:
A probabilidade de que exatamente dois dos cinco elementos do circuito falhem é de aproximadamente **9,8%**.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas:
1. Qual a probabilidade de que nenhum elemento falhe?
2. Como calcular a probabilidade de que todos os 5 elementos falhem?
3. Se a probabilidade de falha fosse 20%, qual seria a nova probabilidade de que exatamente dois falhem?
4. Como seria calculada a probabilidade se houvesse 10 elementos no circuito?
5. Qual a probabilidade de que falhem pelo menos três elementos?

### Dica:
A distribuição binomial é especialmente útil para calcular a probabilidade de um número específico de sucessos (ou falhas) em um número fixo de tentativas, quando a probabilidade de sucesso é constante.

Explore how to calculate the probability of exactly two failures in a circuit with five elements, each having a 12% probability of failure. Use the binomial distribution formula to solve this advanced probability problem.

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