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integrala y encuentra la antiderivada para resolver la integral

La integral que se presenta es una integral de contorno, donde \( \gamma(t) \) está parametrizada por \( e^{it} \sin^3 t \) en el intervalo \([0, \pi/2]\). Para resolver esta integral, primero necesitamos parametrizar correctamente la curva y luego encontrar la antiderivada adecuada para resolver la integral.

La integral es:

\[ \int_{\gamma} z^3 \, dz \]

donde \( \gamma(t) = e^{it} \sin^3 t \) con \( t \in [0, \pi/2] \).

1. **Parametrización de la curva:**

\[ z = \gamma(t) = e^{it} \sin^3 t \]

Para encontrar \( dz \), derivamos \( z \) con respecto a \( t \):

\[ dz = \frac{d}{dt} \left( e^{it} \sin^3 t \right) dt \]

Usamos la regla del producto:

\[ dz = \left( i e^{it} \sin^3 t + e^{it} \cdot 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

\[ dz = e^{it} \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

2. **Sustitución en la integral:**

\[ \int_{\gamma} z^3 \, dz = \int_0^{\pi/2} \left( e^{it} \sin^3 t \right)^3 \cdot e^{it} \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

Simplificamos \( z^3 \):

\[ z^3 = \left( e^{it} \sin^3 t \right)^3 = e^{3it} \sin^9 t \]

Entonces, la integral se convierte en:

\[ \int_0^{\pi/2} e^{3it} \sin^9 t \cdot e^{it} \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

\[ = \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^9 t \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

Separando la integral:

\[ \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^9 t \cdot i \sin^3 t \, dt + 3 \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^9 t \cdot \sin^2 t \cos t \, dt \]

\[ = i \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^{12} t \, dt + 3 \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^{11} t \cos t \, dt \]

3. **Evaluación de las integrales:**

Estas integrales pueden ser complejas de evaluar directamente debido a la presencia de términos exponenciales complejos y las potencias altas de senos y cosenos. Una técnica que podría usarse para simplificarlas es la integración por partes o la utilización de series de Fourier, dependiendo del contexto y el enfoque que se prefiera.

Para continuar, podemos realizar integraciones por partes o cambios de variable adecuados para cada una de las integrales resultantes.

¿Te gustaría seguir adelante con algún método específico para evaluar estas integrales, o necesitas más detalles sobre algún paso en particular?

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**Preguntas adicionales:**

1. ¿Cómo se parametriza una curva en el plano complejo?
2. ¿Qué es una integral de contorno en el plano complejo?
3. ¿Cómo se derivan funciones complejas?
4. ¿Qué es la regla del producto en cálculo diferencial?
5. ¿Cómo se simplifica la integral compleja resultante?
6. ¿Qué técnicas de integración pueden utilizarse para evaluar integrales con términos exponenciales complejos?
7. ¿Qué es una serie de Fourier y cómo puede aplicarse en este contexto?
8. ¿Cuáles son los pasos para la integración por partes en integrales complejas?

**Tip:** Siempre es útil revisar las propiedades y teoremas de análisis complejo, como el teorema de Cauchy-Goursat y la fórmula integral de Cauchy, para resolver integrales de contorno.

Aprende cómo encontrar la antiderivada de una integral compleja con parametrización de curvas utilizando el método de integración por partes y el teorema de Cauchy-Goursat. Detalles paso a paso y fórmulas clave incluidas.

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