空間内の三点A(1,2,0),B(0,4,1),C(2,2,-1)を通る平面をπとする。　平面π上に点D(a,1,4)があるときのaの値を求めよ。また原点O(0,0,0)から平面πに降ろした垂線の足をPとするときベクトルOPの成分を求めよ

### 問題の概要
空間内の3点 \( A(1,2,0) \), \( B(0,4,1) \), \( C(2,2,-1) \) を通る平面を \( \pi \) とします。この平面 \( \pi \) 上に点 \( D(a,1,4) \) があるとき、 \( a \) の値を求める。また、原点 \( O(0,0,0) \) から平面 \( \pi \) に下ろした垂線の足を \( P \) とするとき、ベクトル \( \mathbf{OP} \) の成分を求める。

### 1. 平面の方程式を求める

平面 \( \pi \) の方程式は、3点 \( A(1,2,0) \)、\( B(0,4,1) \)、\( C(2,2,-1) \) を使って求めます。平面の一般式は次の形です：
\[
ax + by + cz + d = 0
\]
ここで、ベクトル \( \overrightarrow{AB} \) と \( \overrightarrow{AC} \) を使って平面の法線ベクトル \( \mathbf{n} = (a, b, c) \) を求めます。

#### ベクトルの計算
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 4-2, 1-0) = (-1, 2, 1)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, 2-2, -1-0) = (1, 0, -1)
\]

#### 法線ベクトル
\[
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & -1
\end{vmatrix} = 
\mathbf{i}(2 \times -1 - 1 \times 0) - \mathbf{j}(-1 \times -1 - 1 \times 1) + \mathbf{k}(-1 \times 0 - 2 \times 1)
\]
\[
\mathbf{n} = (-2)\mathbf{i} - (-2)\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (-2, 2, -2)
\]
つまり、法線ベクトルは \((-2, 2, -2)\) です。

#### 平面の方程式
平面の方程式は次のようになります：
\[
-2(x - 1) + 2(y - 2) - 2z = 0
\]
展開して整理すると：
\[
-2x + 2 + 2y - 4 - 2z = 0 \Rightarrow 2x - 2y + 2z = -2 \Rightarrow x - y + z = -1
\]
したがって、平面 \( \pi \) の方程式は：
\[
x - y + z = -1
\]

### 2. 点 \( D(a,1,4) \) が平面上にあるときの \( a \) の値

点 \( D(a, 1, 4) \) が平面 \( \pi \) 上にあるので、次の式に代入します：
\[
a - 1 + 4 = -1
\]
これを解くと：
\[
a + 3 = -1 \Rightarrow a = -4
\]
したがって、\( a \) の値は \( -4 \) です。

### 3. 垂線の足 \( P \) の成分

原点 \( O(0, 0, 0) \) から平面 \( \pi \) に下ろした垂線の足 \( P(x, y, z) \) を求めます。

まず、点 \( P(x, y, z) \) は平面上にあるので、平面の方程式を満たします：
\[
x - y + z = -1 \quad \text{(1)}
\]

次に、ベクトル \( \overrightarrow{OP} = (x, y, z) \) は平面の法線ベクトル \((-2, 2, -2)\) に平行です。したがって：
\[
(x, y, z) = k(-2, 2, -2) = (-2k, 2k, -2k) \quad \text{(2)}
\]
これを (1) に代入すると：
\[
-2k - 2k - 2k = -1 \Rightarrow -6k = -1 \Rightarrow k = \frac{1}{6}
\]
したがって、\( P \) の成分は：
\[
\mathbf{OP} = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)
\]

### 答えのまとめ
- \( a \) の値は \( -4 \)。
- ベクトル \( \mathbf{OP} \) の成分は \( \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right) \) です。

他に質問や詳しい説明が必要ですか？ 以下に関連する質問をいくつか挙げておきます：

1. 交差ベクトル（外積）を使って法線ベクトルを計算する方法は？
2. 平面の一般式を導き出す他の方法はありますか？
3. 平面と直線の交点を求める方法は？
4. 平面上の任意の点を使って垂線の足を求めるには？
5. ベクトルの内積を使って平行かどうかを判定する方法は？
6. 平面と点との距離を求める公式は？
7. ベクトルの成分を使った座標変換の方法は？
8. 平面方程式の係数に物理的な意味はあるのでしょうか？

**Tip:** 平面や直線の問題を解く際は、ベクトルの外積や内積を使うことで、複雑な幾何学的問題を簡単に解くことができます。

空間内の三点A(1,2,0)、B(0,4,1)、C(2,2,-1)を通る平面πと点D(a,1,4)の関係を解決します。求めるaの値と、原点O(0,0,0)から平面πに垂直に引かれた垂線の足PのベクトルOPの成分を詳しく解説。高校進学レベルの幾何学問題です。

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