座標空間内において3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)が決定する平面に点P(3,a,3)(a>-5)から降ろした垂線の足をHとおく時、Hの座標、および点Hが△ABCの周および内部にあるための実数aの条件を求めよ

問題を解くために、次の手順で進めます。

### 1. 平面ABCの方程式を求める
点 \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 0) \), \( C(0, 0, 1) \) が決定する平面の方程式は、次のように書けます。

\[
x + y + z = 1
\]

### 2. 点Pから平面ABCに降ろした垂線の足Hの座標を求める
点 \( P(3, a, 3) \) から平面 \( x + y + z = 1 \) に垂線を降ろした時の垂線の足 \( H(x_1, y_1, z_1) \) は、以下のように求めます。

平面 \( x + y + z = 1 \) の法線ベクトルは \( \vec{n} = (1, 1, 1) \) です。したがって、点 \( P \) から平面への垂線の方向ベクトルも \( (1, 1, 1) \) です。垂線の足 \( H(x_1, y_1, z_1) \) は次のように表せます：

\[
H = P + t\vec{n} = (3, a, 3) + t(1, 1, 1) = (3+t, a+t, 3+t)
\]

この \( H(3+t, a+t, 3+t) \) が平面 \( x + y + z = 1 \) 上にあるので、次のような条件を満たします：

\[
(3+t) + (a+t) + (3+t) = 1
\]

これを解くと：

\[
3t + a + 6 = 1 \quad \Rightarrow \quad 3t = -a - 5 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{-a-5}{3}
\]

よって、点 \( H \) の座標は次のようになります：

\[
H = \left(3 + \frac{-a-5}{3}, a + \frac{-a-5}{3}, 3 + \frac{-a-5}{3}\right)
\]

簡単にすると：

\[
H = \left(\frac{4a+4}{3}, \frac{2a-1}{3}, \frac{4a+4}{3}\right)
\]

### 3. 点Hが△ABCの周および内部にあるための条件
△ABCの内部および周にあるためには、次の3つの不等式がすべて成り立つ必要があります。

\[
x_1 \geq 0, \quad y_1 \geq 0, \quad z_1 \geq 0
\]

Hの座標でそれぞれの不等式を確認します。

1. \( \frac{4a+4}{3} \geq 0 \)
2. \( \frac{2a-1}{3} \geq 0 \)
3. \( \frac{4a+4}{3} \geq 0 \)

それぞれの不等式を解くと：

1. \( 4a + 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq -1 \)
2. \( 2a - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq \frac{1}{2} \)
3. \( 4a + 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq -1 \)

したがって、すべての条件を満たす \( a \) の範囲は次の通りです：

\[
a \geq \frac{1}{2}
\]

### 答えのまとめ
- 点Hの座標は \( H = \left(\frac{4a+4}{3}, \frac{2a-1}{3}, \frac{4a+4}{3}\right) \) です。
- 点Hが△ABCの周および内部にあるための実数 \( a \) の条件は、 \( a \geq \frac{1}{2} \) です。

質問や詳細な説明が必要ですか？次に関連する質問を5つ提案します。

1. 他の平面方程式の場合、垂線の足を求める方法は同じですか？
2. 垂線の足を求めるときに別のベクトル法を使うことはできますか？
3. 平面の内部にある条件の代わりに、外部にある条件を求めることはできますか？
4. 点 \( P \) が平面 \( ABC \) にある場合、どのような状況になりますか？
5. 垂線の足の座標を簡単に計算する別の方法はありますか？

**Tip:** 平面と点に関する問題を解く際、法線ベクトルと点からの距離を利用すると簡単に解答が得られます。

Learn how to find the coordinates of the foot of perpendicular (H) from point P(3,a,3) to the plane defined by points A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1). Includes detailed steps using plane equations and vector mathematics. Suitable for advanced high school students.

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