Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm phương trình mặt phẳng đi qua bốn điểm $A(1,1,10)$, $B(4,3,1)$, $C(3,2,5)$, và $D(6,2,3)$.

Bước 1: Tìm phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng có dạng tổng quát: $ax + by + cz + d = 0$ Ta cần tìm các hệ số $a$, $b$, $c$, và $d$.

Do mặt phẳng đi qua các điểm $A(1,1,10)$, $B(4,3,1)$, và $C(3,2,5)$, ta sẽ dùng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định các hệ số $a$, $b$, và $c$.

Bước 2: Tính các vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Ta xác định các vectơ chỉ phương của mặt phẳng bằng cách tính hiệu các tọa độ điểm:

• Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 1, 3 - 1, 1 - 10) = (3, 2, -9)$
• Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 1, 2 - 1, 5 - 10) = (2, 1, -5)$

Bước 3: Tính tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & -9 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix}$ Ta tính tích có hướng: $\overrightarrow{n} = (2 \cdot (-5) - 1 \cdot (-9), (-9 \cdot 2) - (-5 \cdot 3), 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2)$ $\overrightarrow{n} = (-10 + 9, -18 + 15, 3 - 4) = (-1, -3, -1)$ Vậy phương trình mặt phẳng có dạng: $-1x - 3y - 1z + d = 0$ hay: $x + 3y + z = d$

Bước 4: Tìm hằng số $d$

Mặt phẳng đi qua điểm $A(1,1,10)$, ta thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình để tìm $d$: $1 + 3 \cdot 1 + 10 = d \Rightarrow d = 14$ Vậy phương trình mặt phẳng là: $x + 3y + z = 14$

Bước 5: Tính giá trị của $2m - n + p - k$

Từ phương trình mặt phẳng $x + 3y + z = 14$, ta có:

• $m = 3$
• $n = 1$
• $p = -14$
• $k = 1$

Áp dụng vào biểu thức $2m - n + p - k$: $2 \cdot 3 - 1 + (-14) - 1 = 6 - 1 - 14 - 1 = -10$

Vậy giá trị của $2m - n + p - k$ là $\boxed{-10}$.

Nếu bạn có thắc mắc hoặc muốn biết thêm chi tiết, vui lòng cho tôi biết!

Một số câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để tính tích có hướng của hai vectơ trong không gian?
2. Phương trình mặt phẳng tổng quát có dạng gì?
3. Cách nào để kiểm tra một điểm có nằm trên mặt phẳng hay không?
4. Làm thế nào để tìm phương trình mặt phẳng nếu chỉ biết ba điểm?
5. Ý nghĩa hình học của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là gì?

Mẹo: Khi tính tích có hướng, hãy sử dụng định thức ma trận 3x3 để dễ dàng hơn trong việc tìm ra vectơ pháp tuyến.