3点 $A(1, 4, -3)$, $B(3, 2, 0)$, $C(3, 1, 3)$ を通る平面上に点 $P(1, 3, z)$ があるとき、$z$ の値を求めるために、まず平面の方程式を求める必要があります。

平面の方程式は一般に次の形をとります。

$ax + by + cz + d = 0$

ここで、平面上の3点 $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$ を利用して、法線ベクトル $\mathbf{n} = (a, b, c)$ を求めることができます。

Step 1: ベクトルを求める

点 $A$, $B$, $C$ に対するベクトルを次のように定義します。

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 1, 2 - 4, 0 - (-3)) = (2, -2, 3)$

$\overrightarrow{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (3 - 1, 1 - 4, 3 - (-3)) = (2, -3, 6)$

Step 2: 外積を求める

法線ベクトル $\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を求めます。

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \end{vmatrix}$$ 行列式を展開して計算します。 $$\mathbf{n} = \mathbf{i}((-2) \cdot 6 - (-3) \cdot 3) - \mathbf{j}(2 \cdot 6 - 2 \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) - (-2) \cdot 2)$$ $$= \mathbf{i}(-12 + 9) - \mathbf{j}(12 - 6) + \mathbf{k}(-6 + 4)$$ $$= \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-2)$$ $$= (-3, -6, -2)$$ したがって、法線ベクトルは $$\mathbf{n} = (-3, -6, -2)$$ です。 ### Step 3: 平面の方程式を求める 平面の方程式は次のようになります。 $$-3(x - 1) - 6(y - 4) - 2(z + 3) = 0$$ これを展開すると、 $$-3x + 3 - 6y + 24 - 2z - 6 = 0$$ 整理すると、 $$-3x - 6y - 2z + 21 = 0$$ したがって、平面の方程式は $$3x + 6y + 2z = 21$$ ### Step 4: 点 $$P(1, 3, z)$$ を代入する 点 $$P(1, 3, z)$$ がこの平面上にあるので、平面の方程式に代入します。 $$3(1) + 6(3) + 2z = 21$$ $$3 + 18 + 2z = 21$$ $$21 + 2z = 21$$ $$2z = 0$$ $$z = 0$$ ### 答え $$z$$ の値は $$\boxed{0}$$ です。 --- 他の質問や詳細が知りたい場合は教えてください。 ### 追加の関連質問 1. 平面の方程式の一般形と標準形の違いは何ですか？ 2. 3次元空間で2つのベクトルの外積の意味とは何ですか？ 3. ある平面が与えられたとき、その平面と平行な別の平面を見つける方法は？ 4. 点と平面の距離の計算方法は？ 5. 平面の方程式において法線ベクトルの役割は何ですか？ ### ワンポイント・アドバイス 3次元空間での平面の方程式を求める際には、点を通ることと法線ベクトルの方向が重要です。外積は法線ベクトルの計算に有用です。