3点A(1.4.-3)、B(3,2,0)、C(3,1,3)を通る平面上に点P(1,3,z)があるとき、zの値を求めよ

3点 \( A(1, 4, -3) \), \( B(3, 2, 0) \), \( C(3, 1, 3) \) を通る平面上に点 \( P(1, 3, z) \) があるとき、\( z \) の値を求めるために、まず平面の方程式を求める必要があります。

平面の方程式は一般に次の形をとります。

\[
ax + by + cz + d = 0
\]

ここで、平面上の3点 \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \) を利用して、法線ベクトル \( \mathbf{n} = (a, b, c) \) を求めることができます。

### Step 1: ベクトルを求める

点 \( A \), \( B \), \( C \) に対するベクトルを次のように定義します。

\[
\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 1, 2 - 4, 0 - (-3)) = (2, -2, 3)
\]

\[
\overrightarrow{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (3 - 1, 1 - 4, 3 - (-3)) = (2, -3, 6)
\]

### Step 2: 外積を求める

法線ベクトル \( \mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) を求めます。

\[
\mathbf{n} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -2 & 3 \\
2 & -3 & 6 
\end{vmatrix}
\]

行列式を展開して計算します。

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}((-2) \cdot 6 - (-3) \cdot 3) - \mathbf{j}(2 \cdot 6 - 2 \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot (-3) - (-2) \cdot 2)
\]

\[
= \mathbf{i}(-12 + 9) - \mathbf{j}(12 - 6) + \mathbf{k}(-6 + 4)
\]

\[
= \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-2)
\]

\[
= (-3, -6, -2)
\]

したがって、法線ベクトルは \( \mathbf{n} = (-3, -6, -2) \) です。

### Step 3: 平面の方程式を求める

平面の方程式は次のようになります。

\[
-3(x - 1) - 6(y - 4) - 2(z + 3) = 0
\]

これを展開すると、

\[
-3x + 3 - 6y + 24 - 2z - 6 = 0
\]

整理すると、

\[
-3x - 6y - 2z + 21 = 0
\]

したがって、平面の方程式は

\[
3x + 6y + 2z = 21
\]

### Step 4: 点 \( P(1, 3, z) \) を代入する

点 \( P(1, 3, z) \) がこの平面上にあるので、平面の方程式に代入します。

\[
3(1) + 6(3) + 2z = 21
\]

\[
3 + 18 + 2z = 21
\]

\[
21 + 2z = 21
\]

\[
2z = 0
\]

\[
z = 0
\]

### 答え

\( z \) の値は \( \boxed{0} \) です。

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他の質問や詳細が知りたい場合は教えてください。  

### 追加の関連質問
1. 平面の方程式の一般形と標準形の違いは何ですか？
2. 3次元空間で2つのベクトルの外積の意味とは何ですか？
3. ある平面が与えられたとき、その平面と平行な別の平面を見つける方法は？
4. 点と平面の距離の計算方法は？
5. 平面の方程式において法線ベクトルの役割は何ですか？

### ワンポイント・アドバイス
3次元空間での平面の方程式を求める際には、点を通ることと法線ベクトルの方向が重要です。外積は法線ベクトルの計算に有用です。

Learn how to find the value of z for the point P(1,3,z) on the plane passing through points A(1,4,-3), B(3,2,0), and C(3,1,3). This solution uses vector cross products and the plane equation, ideal for high school students in Grades 10-12.

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