Considere la región sombreada en el primer cuadrante acotado por f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual menos x al cuadrado más 10 y g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual x al cuadrado más 2.



El volumen generado al rotar la región sombreada alrededor del eje Y, es: =Respuesta

Para resolver este problema, primero debemos determinar los puntos de intersección entre las dos curvas \( f(x) = -x^2 + 10 \) y \( g(x) = x^2 + 2 \). Estos puntos de intersección nos indicarán los límites de integración para calcular el volumen.

### 1. Encontrar los puntos de intersección:
Igualamos las dos funciones para encontrar los valores de \( x \) donde se intersectan:

\[
-x^2 + 10 = x^2 + 2
\]

Sumamos \( x^2 \) a ambos lados de la ecuación:

\[
10 = 2x^2 + 2
\]

Restamos 2 de ambos lados:

\[
8 = 2x^2
\]

Dividimos entre 2:

\[
x^2 = 4
\]

Por lo tanto, \( x = \pm 2 \). Como estamos en el primer cuadrante, solo consideramos \( x = 2 \).

### 2. Volumen generado al rotar alrededor del eje Y:
Para calcular el volumen generado por la rotación de la región sombreada alrededor del eje \( y \), utilizamos el método de **capas cilíndricas**. La fórmula general es:

\[
V = 2\pi \int_{a}^{b} x \left[ f(x) - g(x) \right] dx
\]

Donde \( f(x) = -x^2 + 10 \) es la curva superior y \( g(x) = x^2 + 2 \) es la curva inferior, y los límites de integración son \( x = 0 \) y \( x = 2 \) (en el primer cuadrante).

### 3. Configurar la integral:
La integral para el volumen es:

\[
V = 2\pi \int_{0}^{2} x \left[ (-x^2 + 10) - (x^2 + 2) \right] dx
\]

Simplificamos la expresión dentro del corchete:

\[
(-x^2 + 10) - (x^2 + 2) = -2x^2 + 8
\]

Por lo tanto, la integral se convierte en:

\[
V = 2\pi \int_{0}^{2} x (-2x^2 + 8) dx
\]

### 4. Resolver la integral:
Primero, distribuimos \( x \):

\[
V = 2\pi \int_{0}^{2} (-2x^3 + 8x) dx
\]

Ahora, integramos término a término:

\[
V = 2\pi \left[ \frac{-2x^4}{4} + \frac{8x^2}{2} \right]_{0}^{2}
\]

Simplificamos los coeficientes:

\[
V = 2\pi \left[ \frac{-x^4}{2} + 4x^2 \right]_{0}^{2}
\]

Evaluamos en los límites \( 0 \) y \( 2 \):

Para \( x = 2 \):

\[
\frac{-2^4}{2} + 4(2^2) = \frac{-16}{2} + 4(4) = -8 + 16 = 8
\]

Para \( x = 0 \), ambos términos se anulan.

Por lo tanto, el volumen es:

\[
V = 2\pi (8 - 0) = 16\pi
\]

### Respuesta:
El volumen generado al rotar la región sombreada alrededor del eje \( y \) es:

\[
V = 16\pi
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambiaría el volumen si rotamos alrededor del eje \( x \) en lugar del eje \( y \)?
2. ¿Cómo se interpreta el método de discos en comparación con el de capas cilíndricas?
3. ¿Qué sucede si las funciones de las curvas cambian sus términos constantes?
4. ¿Cómo se calcula el volumen cuando la región está acotada por funciones más complejas?
5. ¿Cómo se determinarían los puntos de intersección si las funciones no fueran polinómicas?

**Tip:** Al utilizar el método de capas cilíndricas, siempre asegúrate de identificar correctamente la diferencia entre las funciones superior e inferior, ya que esto determina la región a rotar correctamente.

Considere la región sombreada en el primer cuadrante acotado por f(x) = -x^2 + 10 y g(x) = x^2 + 2. El volumen generado al rotar la región sombreada alrededor del eje Y, es:

Descubre cómo calcular el volumen generado al rotar la región acotada por f(x) = -x^2 + 10 y g(x) = x^2 + 2 alrededor del eje Y, utilizando el método de capas cilíndricas. Este problema involucra conceptos clave de cálculo como la integración y los sólidos de revolución, adecuado para estudiantes de Cálculo universitario.

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