Le volume du parall´el´epip`ede avec sommet `a l’origine et donn´e par les vecteurs u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 2) et w = (0, 1, 1) est:

Le volume d'un parallélépipède défini par trois vecteurs \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \) est donné par la valeur absolue du produit mixte de ces vecteurs. Le produit mixte se calcule par le déterminant de la matrice formée en prenant les composantes des vecteurs comme lignes ou colonnes de la matrice.

Les vecteurs sont :

\[
\mathbf{u} = (1, 1, 0), \quad \mathbf{v} = (1, 0, 2), \quad \mathbf{w} = (0, 1, 1)
\]

Le volume \( V \) est donné par :

\[
V = | \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) |
\]

Cela revient à calculer le déterminant suivant :

\[
V = \left| \begin{vmatrix} 
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 
\end{vmatrix} \right|
\]

Calculons ce déterminant :

\[
V = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
\]

\[
V = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0)
\]

\[
V = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (1)
\]

\[
V = -2 - 1 = -3
\]

Le volume est donc la valeur absolue de \( -3 \), soit :

\[
V = 3
\]

Ainsi, le volume du parallélépipède est \( \mathbf{3} \).

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#### 5 Questions connexes :
1. Comment trouver le produit vectoriel de deux vecteurs dans \( \mathbb{R}^3 \) ?
2. Quelle est la signification géométrique du produit mixte ?
3. Comment généraliser cette méthode pour trouver le volume d'un parallélépipède dans un espace de dimensions supérieures ?
4. Comment se comporte le volume d'un parallélépipède si les trois vecteurs ne sont pas linéairement indépendants ?
5. Quels sont les autres cas d'application du déterminant dans la géométrie vectorielle ?

#### Conseil :
Pour interpréter le produit mixte, souvenez-vous que c'est une mesure du volume signé du parallélépipède formé par trois vecteurs.

Le volume du parallélépipède avec sommet à l’origine et donné par les vecteurs u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 2) et w = (0, 1, 1) est:

Discover how to calculate the volume of a parallelepiped with vectors u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 2), and w = (0, 1, 1). Learn about vector products, determinants, and the mixed product theorem. Ideal for undergraduate students studying linear algebra.

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