For å regne ut volumet av et parallellpiped dannet av tre vektorer $\vec{u}$, $\vec{v}$ og $\vec{w}$, kan vi bruke absoluttverdien av mixedproduktet, også kjent som det skalare trippelproduktet, definert som $|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$.

Gitte vektorer:

• $\vec{u} = [5, 1, 1]$
• $\vec{v} = [4, 8, 1]$
• $\vec{w} = [3, 2, 4]$

Trinn for å finne volumet:

1. Beregn kryssproduktet $\vec{v} \times \vec{w}$: $\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 8 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}$ Vi finner hver komponent separat:

   • For $\hat{i}$-komponenten: $(8 \cdot 4) - (1 \cdot 2) = 32 - 2 = 30$
   • For $\hat{j}$-komponenten: $-((4 \cdot 4) - (1 \cdot 3)) = -(16 - 3) = -13$
   • For $\hat{k}$-komponenten: $(4 \cdot 2) - (8 \cdot 3) = 8 - 24 = -16$

   Så $\vec{v} \times \vec{w} = [30, -13, -16]$.

2. Beregn dot-produktet $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$: $\vec{u} \cdot [30, -13, -16] = (5 \cdot 30) + (1 \cdot -13) + (1 \cdot -16)$ $= 150 - 13 - 16 = 121$

3. Volumet av parallellpipedet: $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = |121| = 121$

Svar:

Volumet av parallellpipedet er $121$ kubikkenheter.

Ønsker du mer detaljert forklaring, eller har du noen spørsmål?

Relaterte spørsmål:

1. Hvordan finner vi arealet av en parallellogram ved bruk av vektorer?
2. Hva er betydningen av kryssprodukt og dot-produkt i vektorregning?
3. Kan vi bruke samme metode for å finne volumet av andre figurer i rommet?
4. Hvordan påvirker retningen til vektorene volumet av parallellpipedet?
5. Hvorfor er det viktig å ta absoluttverdien i det skalar trippelproduktet?

Tips: Å kjenne til både kryss- og dot-produkt gjør det enklere å løse mange romgeometriproblemer med vektorer.