https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1730036650559v7gem7hs.jpg

For å regne ut volumet av et parallellpiped dannet av tre vektorer \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) og \(\vec{w}\), kan vi bruke absoluttverdien av mixedproduktet, også kjent som det skalare trippelproduktet, definert som \(|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|\).

### Gitte vektorer:
- \(\vec{u} = [5, 1, 1]\)
- \(\vec{v} = [4, 8, 1]\)
- \(\vec{w} = [3, 2, 4]\)

### Trinn for å finne volumet:

1. **Beregn kryssproduktet \(\vec{v} \times \vec{w}\):**
   \[
   \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 8 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}
   \]
   Vi finner hver komponent separat:
   - For \(\hat{i}\)-komponenten: \( (8 \cdot 4) - (1 \cdot 2) = 32 - 2 = 30 \)
   - For \(\hat{j}\)-komponenten: \( -((4 \cdot 4) - (1 \cdot 3)) = -(16 - 3) = -13 \)
   - For \(\hat{k}\)-komponenten: \( (4 \cdot 2) - (8 \cdot 3) = 8 - 24 = -16 \)

   Så \(\vec{v} \times \vec{w} = [30, -13, -16]\).

2. **Beregn dot-produktet \(\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\):**
   \[
   \vec{u} \cdot [30, -13, -16] = (5 \cdot 30) + (1 \cdot -13) + (1 \cdot -16)
   \]
   \[
   = 150 - 13 - 16 = 121
   \]

3. **Volumet av parallellpipedet:**
   \[
   V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = |121| = 121
   \]

### Svar:
Volumet av parallellpipedet er \(121\) kubikkenheter.

Ønsker du mer detaljert forklaring, eller har du noen spørsmål?

---

**Relaterte spørsmål:**

1. Hvordan finner vi arealet av en parallellogram ved bruk av vektorer?
2. Hva er betydningen av kryssprodukt og dot-produkt i vektorregning?
3. Kan vi bruke samme metode for å finne volumet av andre figurer i rommet?
4. Hvordan påvirker retningen til vektorene volumet av parallellpipedet?
5. Hvorfor er det viktig å ta absoluttverdien i det skalar trippelproduktet?

**Tips:** Å kjenne til både kryss- og dot-produkt gjør det enklere å løse mange romgeometriproblemer med vektorer.

Regn ut volumet av parallellepipedet utspent av vektorene u, v og w.

Find out how to calculate the volume of a parallelepiped defined by vectors u = [5, 1, 1], v = [4, 8, 1], and w = [3, 2, 4]. This solution demonstrates the use of the scalar triple product to determine the volume.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation