Le volume d'un parallélépipède déterminé par trois vecteurs $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ peut être trouvé en calculant le produit mixte de ces vecteurs. Ce produit mixte est défini comme suit :

$V = |\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})|$

Les vecteurs donnés sont :

$\mathbf{u} = (1, 2, 3), \quad \mathbf{v} = (0, 1, 1), \quad \mathbf{w} = (1, -1, 1)$

Étape 1 : Calcul du produit vectoriel $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$

Le produit vectoriel $\mathbf{v} \times \mathbf{w}$ se calcule en utilisant le déterminant de la matrice suivante :

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculons ce déterminant : $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i} (1 \times 1 - (-1) \times 1) - \mathbf{j} (0 \times 1 - 1 \times 1) + \mathbf{k} (0 \times (-1) - 1 \times 1)$$ $$= \mathbf{i} (1 + 1) - \mathbf{j} (-1) + \mathbf{k} (-1)$$ $$= 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}$$ Ainsi, $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = (2, 1, -1)$$. ### Étape 2 : Calcul du produit scalaire $$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$$ Maintenant, calculons le produit scalaire $$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$$, avec $$\mathbf{u} = (1, 2, 3)$$ et $$\mathbf{v} \times \mathbf{w} = (2, 1, -1)$$ : $$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times (-1)$$ $$= 2 + 2 - 3 = 1$$ ### Étape 3 : Calcul du volume Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue de ce produit scalaire : $$V = |1| = 1$$ ### Conclusion : Le volume du parallélépipède est $$V = 1$$ unité cubique. --- Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici 5 questions supplémentaires en lien avec ce sujet : 1. Comment interpréter géométriquement le produit mixte de trois vecteurs ? 2. Quelle est la différence entre le produit vectoriel et le produit scalaire ? 3. Comment calculer le produit vectoriel dans un espace tridimensionnel ? 4. Comment vérifier si trois vecteurs sont coplanaires en utilisant le produit mixte ? 5. Comment le volume d'un parallélépipède change-t-il si l'un des vecteurs est multiplié par une constante ? **Astuce :** Le produit mixte de trois vecteurs est nul si les vecteurs sont coplanaires, car le volume du parallélépipède serait alors nul.