Trouvez le volume du parallélépipède dont les côtés sont donnés par les vecteurs u =
(1, 2, 3), v = (0, 1,1) et w = (1,-1,1).

Le volume d'un parallélépipède déterminé par trois vecteurs \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) et \( \mathbf{w} \) peut être trouvé en calculant le produit mixte de ces vecteurs. Ce produit mixte est défini comme suit :

\[
V = |\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})|
\]

Les vecteurs donnés sont :

\[
\mathbf{u} = (1, 2, 3), \quad \mathbf{v} = (0, 1, 1), \quad \mathbf{w} = (1, -1, 1)
\]

### Étape 1 : Calcul du produit vectoriel \( \mathbf{v} \times \mathbf{w} \)

Le produit vectoriel \( \mathbf{v} \times \mathbf{w} \) se calcule en utilisant le déterminant de la matrice suivante :

\[
\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
\]

Calculons ce déterminant :

\[
\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\]

\[
= \mathbf{i} (1 \times 1 - (-1) \times 1) - \mathbf{j} (0 \times 1 - 1 \times 1) + \mathbf{k} (0 \times (-1) - 1 \times 1)
\]

\[
= \mathbf{i} (1 + 1) - \mathbf{j} (-1) + \mathbf{k} (-1)
\]

\[
= 2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}
\]

Ainsi, \( \mathbf{v} \times \mathbf{w} = (2, 1, -1) \).

### Étape 2 : Calcul du produit scalaire \( \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \)

Maintenant, calculons le produit scalaire \( \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \), avec \( \mathbf{u} = (1, 2, 3) \) et \( \mathbf{v} \times \mathbf{w} = (2, 1, -1) \) :

\[
\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times (-1)
\]

\[
= 2 + 2 - 3 = 1
\]

### Étape 3 : Calcul du volume

Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue de ce produit scalaire :

\[
V = |1| = 1
\]

### Conclusion :

Le volume du parallélépipède est \( V = 1 \) unité cubique.

---

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions supplémentaires en lien avec ce sujet :

1. Comment interpréter géométriquement le produit mixte de trois vecteurs ?
2. Quelle est la différence entre le produit vectoriel et le produit scalaire ?
3. Comment calculer le produit vectoriel dans un espace tridimensionnel ?
4. Comment vérifier si trois vecteurs sont coplanaires en utilisant le produit mixte ?
5. Comment le volume d'un parallélépipède change-t-il si l'un des vecteurs est multiplié par une constante ?

**Astuce :** Le produit mixte de trois vecteurs est nul si les vecteurs sont coplanaires, car le volume du parallélépipède serait alors nul.

Trouvez le volume du parallélépipède dont les côtés sont donnés par les vecteurs u = (1, 2, 3), v = (0, 1,1) et w = (1,-1,1).

Learn how to calculate the volume of a parallelepiped using vectors u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 1), and w = (1, -1, 1) through the mixed product formula. This solution covers key vector algebra concepts like the cross and dot product and is ideal for Grade 11-12 and college-level students.

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