Prvo, odredimo vektore $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, i $\overrightarrow{CB}$.

1. Vektori $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{CB}$

Vektor $\overrightarrow{AB}$ definira se kao razlika koordinata točaka B i A:

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3, 2, -2) - (2, 2, 1) = (3-2, 2-2, -2-1) = (1, 0, -3)$

Vektor $\overrightarrow{AC}$ definira se kao razlika koordinata točaka C i A:

$\overrightarrow{AC} = C - A = (1, 3, 1) - (2, 2, 1) = (1-2, 3-2, 1-1) = (-1, 1, 0)$

Vektor $\overrightarrow{CB}$ definira se kao razlika koordinata točaka B i C:

$\overrightarrow{CB} = B - C = (3, 2, -2) - (1, 3, 1) = (3-1, 2-3, -2-1) = (2, -1, -3)$

2. Linearna kombinacija

Sada ćemo provjeriti može li se vektor $\overrightarrow{AB}$ napisati kao linearna kombinacija vektora $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{CB}$. To znači, trebamo vidjeti postoje li skalarne vrijednosti $x$ i $y$ tako da vrijedi:

$\overrightarrow{AB} = x \cdot \overrightarrow{AC} + y \cdot \overrightarrow{CB}$

Odnosno:

$(1, 0, -3) = x \cdot (-1, 1, 0) + y \cdot (2, -1, -3)$

Izrazimo sustav jednadžbi:

1. $-x + 2y = 1$
2. $x - y = 0$
3. $-3y = -3$

Riješimo sustav:

Iz treće jednadžbe, dobijamo $y = 1$.

Koristeći $y = 1$ u drugoj jednadžbi:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Provjerimo prvu jednadžbu s ovim vrijednostima:

$-x + 2y = -1 + 2(1) = -1 + 2 = 1 \quad (\text{što je točno})$

Zaključak

Vrijednosti $x = 1$ i $y = 1$ zadovoljavaju sustav jednadžbi, pa se vektor $\overrightarrow{AB}$ može napisati kao linearna kombinacija vektora $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{CB}$:

$\overrightarrow{AB} = 1 \cdot \overrightarrow{AC} + 1 \cdot \overrightarrow{CB}$

Imate li pitanja ili želite dodatne detalje?

Dodatna pitanja:

1. Kako izračunati vektor između dvije točke u prostoru?
2. Što znači da je vektor linearna kombinacija drugih vektora?
3. Kako rješavamo sustav linearnih jednadžbi u općem slučaju?
4. Koji su primjeri upotrebe vektora u stvarnom svijetu?
5. Kako provjeriti jesu li tri točke u prostoru kolinearne?

Savjet: Kada rješavate probleme s vektorima, korisno je nacrtati grafički prikaz kako biste bolje vizualizirali odnose između vektora.