Dane su točke A(2,2,1), B(3,2,-2), te C(1,3,1,). Odredi vektore AB→ , AC→ te CB→.

Da li se vektor AB→ može napisati kao linearna kombinacija vektora AC→ te CB→. 

Prvo, odredimo vektore \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), i \(\overrightarrow{CB}\).

### 1. Vektori \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) i \(\overrightarrow{CB}\)

Vektor \(\overrightarrow{AB}\) definira se kao razlika koordinata točaka B i A:

\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (3, 2, -2) - (2, 2, 1) = (3-2, 2-2, -2-1) = (1, 0, -3)
\]

Vektor \(\overrightarrow{AC}\) definira se kao razlika koordinata točaka C i A:

\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (1, 3, 1) - (2, 2, 1) = (1-2, 3-2, 1-1) = (-1, 1, 0)
\]

Vektor \(\overrightarrow{CB}\) definira se kao razlika koordinata točaka B i C:

\[
\overrightarrow{CB} = B - C = (3, 2, -2) - (1, 3, 1) = (3-1, 2-3, -2-1) = (2, -1, -3)
\]

### 2. Linearna kombinacija

Sada ćemo provjeriti može li se vektor \(\overrightarrow{AB}\) napisati kao linearna kombinacija vektora \(\overrightarrow{AC}\) i \(\overrightarrow{CB}\). To znači, trebamo vidjeti postoje li skalarne vrijednosti \(x\) i \(y\) tako da vrijedi:

\[
\overrightarrow{AB} = x \cdot \overrightarrow{AC} + y \cdot \overrightarrow{CB}
\]

Odnosno:

\[
(1, 0, -3) = x \cdot (-1, 1, 0) + y \cdot (2, -1, -3)
\]

Izrazimo sustav jednadžbi:

1. \( -x + 2y = 1 \)
2. \( x - y = 0 \)
3. \( -3y = -3 \)

Riješimo sustav:

Iz treće jednadžbe, dobijamo \( y = 1 \).

Koristeći \( y = 1 \) u drugoj jednadžbi:

\[
x - 1 = 0 \implies x = 1
\]

Provjerimo prvu jednadžbu s ovim vrijednostima:

\[
-x + 2y = -1 + 2(1) = -1 + 2 = 1 \quad (\text{što je točno})
\]

### Zaključak

Vrijednosti \(x = 1\) i \(y = 1\) zadovoljavaju sustav jednadžbi, pa se vektor \(\overrightarrow{AB}\) može napisati kao linearna kombinacija vektora \(\overrightarrow{AC}\) i \(\overrightarrow{CB}\):

\[
\overrightarrow{AB} = 1 \cdot \overrightarrow{AC} + 1 \cdot \overrightarrow{CB}
\]

### Imate li pitanja ili želite dodatne detalje?

### Dodatna pitanja:

1. Kako izračunati vektor između dvije točke u prostoru?
2. Što znači da je vektor linearna kombinacija drugih vektora?
3. Kako rješavamo sustav linearnih jednadžbi u općem slučaju?
4. Koji su primjeri upotrebe vektora u stvarnom svijetu?
5. Kako provjeriti jesu li tri točke u prostoru kolinearne?

**Savjet:** Kada rješavate probleme s vektorima, korisno je nacrtati grafički prikaz kako biste bolje vizualizirali odnose između vektora.

Explore how to find vectors AB, AC, and CB in 3D space and determine if vector AB can be expressed as a linear combination of vectors AC and CB. Detailed step-by-step solution provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation