Первая прямая проходит через точки A = (−2, −4, −4) и
B = (−3, −5, −5). Вторая прямая проходит через точки
C = (1, −1, −3) и D = (2, 0, −3). Найти координаты
точки пересечения этих прямых.

Для нахождения точки пересечения двух прямых, заданных точками \( A, B \) и \( C, D \), мы используем параметрические уравнения прямых и проверяем условия пересечения.

---

### 1. Уравнения прямых
Прямая через точки \( A(-2, -4, -4) \) и \( B(-3, -5, -5) \):
\[
\vec{r_1}(t) = A + t \cdot \vec{AB}, \quad \text{где } \vec{AB} = B - A = (-1, -1, -1).
\]
Уравнение:
\[
x_1 = -2 - t, \quad y_1 = -4 - t, \quad z_1 = -4 - t.
\]

Прямая через точки \( C(1, -1, -3) \) и \( D(2, 0, -3) \):
\[
\vec{r_2}(s) = C + s \cdot \vec{CD}, \quad \text{где } \vec{CD} = D - C = (1, 1, 0).
\]
Уравнение:
\[
x_2 = 1 + s, \quad y_2 = -1 + s, \quad z_2 = -3.
\]

---

### 2. Условие пересечения
Для нахождения точки пересечения прямых, их координаты должны совпадать:
\[
x_1 = x_2, \quad y_1 = y_2, \quad z_1 = z_2.
\]
Подставим уравнения прямых:
1. \( -2 - t = 1 + s \)
2. \( -4 - t = -1 + s \)
3. \( -4 - t = -3 \)

---

### 3. Решение системы
Уравнение \( -4 - t = -3 \):
\[
t = -1.
\]

Подставим \( t = -1 \) в первые два уравнения:
1. \( -2 - (-1) = 1 + s \):
\[
-1 = 1 + s \quad \Rightarrow \quad s = -2.
\]
2. Проверим второе уравнение:
\( -4 - (-1) = -1 + s \):
\[
-3 = -1 + s \quad \Rightarrow \quad s = -2.
\]

\( s = -2 \) удовлетворяет системе.

---

### 4. Проверка \( z \)-координаты
Для обеих прямых \( z_1 = -4 - t \) и \( z_2 = -3 \):
\[
z_1 = -4 - (-1) = -3, \quad z_2 = -3.
\]
Точка совпадает.

---

### 5. Координаты точки пересечения
Подставим \( t = -1 \) или \( s = -2 \) в уравнения прямых:
\[
x = -2 - (-1) = -1, \quad y = -4 - (-1) = -3, \quad z = -4 - (-1) = -3.
\]

Точка пересечения:
\[
P(-1, -3, -3).
\]

---

### Хотите подробнее разобрать шаги или задать дополнительные вопросы?

---

#### Вопросы для расширения:
1. Как записывать параметрическое уравнение прямой?
2. Почему \( z \)-координаты автоматически совпадают в данном случае?
3. Какие бывают методы проверки пересечения прямых в пространстве?
4. Что делать, если прямые не пересекаются?
5. Как найти угол между пересекающимися прямыми?

#### Совет:
Если прямые не пересекаются, проверьте их взаимное расположение: они могут быть скрещивающимися. Для этого используйте векторное произведение направляющих векторов.

Первая прямая проходит через точки A = (−2, −4, −4) и B = (−3, −5, −5). Вторая прямая проходит через точки C = (1, −1, −3) и D = (2, 0, −3). Найти координаты точки пересечения этих прямых.

Решение задачи на нахождение точки пересечения двух прямых, заданных точками A, B, C и D в 3D пространстве. Подробный разбор с использованием параметрических уравнений прямых и системы уравнений для нахождения точки пересечения. Подходит для учеников 10-12 классов.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation