Mari kita selesaikan setiap bagian satu per satu berdasarkan dua vektor yang diberikan, yaitu:

$\mathbf{a} = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}, \quad \mathbf{b} = -\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}$

(a) Vektor $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ dan modulus $|\mathbf{a} + \mathbf{b}|$

Untuk menghitung $\mathbf{a} + \mathbf{b}$, kita jumlahkan setiap komponen vektor: $\mathbf{a} + \mathbf{b} = (4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}) + (-\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k})$ $= (4 - 1)\mathbf{i} + (-3 + 1)\mathbf{j} + (1 + 4)\mathbf{k}$ $= 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$

Modulus dari $\mathbf{a} + \mathbf{b}$, atau $|\mathbf{a} + \mathbf{b}|$, adalah: $|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (5)^2}$ $= \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$

Jadi, $\mathbf{a} + \mathbf{b} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$ dan $|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{38}$.

(b) Vektor satuan dari $\mathbf{a} + \mathbf{b}$

Vektor satuan diperoleh dengan membagi vektor dengan modulusnya: $\hat{u}_{\mathbf{a} + \mathbf{b}} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{|\mathbf{a} + \mathbf{b}|} = \frac{3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}}{\sqrt{38}}$ Jadi, vektor satuan dari $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ adalah: $\hat{u}_{\mathbf{a} + \mathbf{b}} = \frac{3}{\sqrt{38}}\mathbf{i} + \frac{-2}{\sqrt{38}}\mathbf{j} + \frac{5}{\sqrt{38}}\mathbf{k}$

(c) Vektor $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ dan modulus $|\mathbf{a} - \mathbf{b}|$

Untuk menghitung $\mathbf{a} - \mathbf{b}$, kita kurangkan setiap komponen vektor: $\mathbf{a} - \mathbf{b} = (4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}) - (-\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k})$ $= (4 + 1)\mathbf{i} + (-3 - 1)\mathbf{j} + (1 - 4)\mathbf{k}$ $= 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$

Modulus dari $\mathbf{a} - \mathbf{b}$, atau $|\mathbf{a} - \mathbf{b}|$, adalah: $|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{(5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2}$ $= \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$

Jadi, $\mathbf{a} - \mathbf{b} = 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$ dan $|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{50}$.

(d) Vektor $\mathbf{c}$ agar $\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = 0$

Kita ingin mencari $\mathbf{c}$ yang memenuhi persamaan: $\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = 0$ $\mathbf{c} = -(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = -(5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k})$ $\mathbf{c} = -5\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$

Jadi, vektor $\mathbf{c} = -5\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai salah satu bagian? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat Anda jelajahi:

1. Bagaimana jika vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ diberikan dalam bentuk polar?
2. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor?
3. Apa arti geometris dari vektor satuan?
4. Bagaimana cara menentukan perkalian silang antara $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$?
5. Bagaimana cara menentukan proyeksi vektor $\mathbf{a}$ pada $\mathbf{b}$?

Tip: Vektor satuan selalu memiliki panjang 1, dan penting untuk mendapatkan arah yang sama dengan vektor asli.