Dua buah vector diberikan sebagai a = 4i – 3j + k dan b = -I + j + 4k. Tentukan :
(a) a + b dan | a + b |
(b) Vector satuan dari a + b
(c) a – b dan | a – b |
(d) vector c agar a – b + c = 0

Mari kita selesaikan setiap bagian satu per satu berdasarkan dua vektor yang diberikan, yaitu:

\[
\mathbf{a} = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}, \quad \mathbf{b} = -\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}
\]

### (a) Vektor \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) dan modulus \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}|\)

Untuk menghitung \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\), kita jumlahkan setiap komponen vektor:
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = (4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}) + (-\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k})
\]
\[
= (4 - 1)\mathbf{i} + (-3 + 1)\mathbf{j} + (1 + 4)\mathbf{k}
\]
\[
= 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}
\]

Modulus dari \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\), atau \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}|\), adalah:
\[
|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (5)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}
\]

Jadi, \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}\) dan \(|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = \sqrt{38}\).

### (b) Vektor satuan dari \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\)

Vektor satuan diperoleh dengan membagi vektor dengan modulusnya:
\[
\hat{u}_{\mathbf{a} + \mathbf{b}} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{|\mathbf{a} + \mathbf{b}|} = \frac{3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k}}{\sqrt{38}}
\]
Jadi, vektor satuan dari \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) adalah:
\[
\hat{u}_{\mathbf{a} + \mathbf{b}} = \frac{3}{\sqrt{38}}\mathbf{i} + \frac{-2}{\sqrt{38}}\mathbf{j} + \frac{5}{\sqrt{38}}\mathbf{k}
\]

### (c) Vektor \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\) dan modulus \(|\mathbf{a} - \mathbf{b}|\)

Untuk menghitung \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\), kita kurangkan setiap komponen vektor:
\[
\mathbf{a} - \mathbf{b} = (4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}) - (-\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k})
\]
\[
= (4 + 1)\mathbf{i} + (-3 - 1)\mathbf{j} + (1 - 4)\mathbf{k}
\]
\[
= 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
\]

Modulus dari \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\), atau \(|\mathbf{a} - \mathbf{b}|\), adalah:
\[
|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{(5)^2 + (-4)^2 + (-3)^2}
\]
\[
= \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}
\]

Jadi, \(\mathbf{a} - \mathbf{b} = 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\) dan \(|\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{50}\).

### (d) Vektor \(\mathbf{c}\) agar \(\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = 0\)

Kita ingin mencari \(\mathbf{c}\) yang memenuhi persamaan:
\[
\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c} = 0
\]
\[
\mathbf{c} = -(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = -(5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k})
\]
\[
\mathbf{c} = -5\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]

Jadi, vektor \(\mathbf{c} = -5\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\).

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai salah satu bagian? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat Anda jelajahi:

1. Bagaimana jika vektor \(\mathbf{a}\) dan \(\mathbf{b}\) diberikan dalam bentuk polar?
2. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor?
3. Apa arti geometris dari vektor satuan?
4. Bagaimana cara menentukan perkalian silang antara \(\mathbf{a}\) dan \(\mathbf{b}\)?
5. Bagaimana cara menentukan proyeksi vektor \(\mathbf{a}\) pada \(\mathbf{b}\)?

**Tip:** Vektor satuan selalu memiliki panjang 1, dan penting untuk mendapatkan arah yang sama dengan vektor asli.

Dua buah vector diberikan sebagai a = 4i – 3j + k dan b = -I + j + 4k. Tentukan : (a) a + b dan | a + b | (b) Vector satuan dari a + b (c) a – b dan | a – b | (d) vector c agar a – b + c = 0

Learn how to perform vector addition, subtraction, and find the unit vector of two vectors a = 4i – 3j + k and b = -i + j + 4k. This detailed solution walks through the steps to calculate the modulus, find the unit vector, and solve for the unknown vector c. Suitable for Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation