要找到 $\vec{a} + 3\vec{b}$，首先我們需要使用給定的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 進行計算。

$\vec{a} = 4\hat{i} - 6\hat{j}$ $\vec{b} = 9\hat{i} + 6\hat{j}$

首先，我們計算 $3\vec{b}$：

$3\vec{b} = 3(9\hat{i} + 6\hat{j}) = 27\hat{i} + 18\hat{j}$

接下來，我們計算 $\vec{a} + 3\vec{b}$：

$\vec{a} + 3\vec{b} = (4\hat{i} - 6\hat{j}) + (27\hat{i} + 18\hat{j})$ $= (4 + 27)\hat{i} + (-6 + 18)\hat{j}$ $= 31\hat{i} + 12\hat{j}$

$\vec{a} + 3\vec{b}$ 的結果是 $31\hat{i} + 12\hat{j}$。

接下來，我們計算 $\vec{a}$ 的模數：

$\|\vec{a}\| = \sqrt{(4)^2 + (-6)^2}$ $= \sqrt{16 + 36}$ $= \sqrt{52}$ $= 2\sqrt{13}$

最後，計算 $\vec{a}$ 的單位向量：

單位向量 $\hat{a}$ 是 $\vec{a}$ 除以其模數：

$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = \frac{4\hat{i} - 6\hat{j}}{2\sqrt{13}}$ $= \frac{4}{2\sqrt{13}}\hat{i} - \frac{6}{2\sqrt{13}}\hat{j}$ $= \frac{2}{\sqrt{13}}\hat{i} - \frac{3}{\sqrt{13}}\hat{j}$

因此，$\vec{a}$ 的單位向量是 $\frac{2}{\sqrt{13}}\hat{i} - \frac{3}{\sqrt{13}}\hat{j}$。