Для решения задачи максимизации полезности потребителя при данном бюджете, сначала выпишем данные:

1. Функция полезности потребителя: $TU = Q_a \cdot Q_b$

2. Цены товаров:

   • $P_a = 20$
   • $P_b = 35$

3. Бюджет потребителя: $I = 500$

Задача состоит в том, чтобы найти значения $Q_a$ и $Q_b$, которые максимизируют функцию полезности, при условии ограничения бюджета:

$20 \cdot Q_a + 35 \cdot Q_b = 500$

Шаг 1: Запишем уравнение бюджета

$20Q_a + 35Q_b = 500$

или, при упрощении:

$4Q_a + 7Q_b = 100$

Шаг 2: Метод Лагранжа

Чтобы максимизировать полезность при данном ограничении, используем метод множителей Лагранжа. Определим функцию Лагранжа:

$L = Q_a \cdot Q_b + \lambda (500 - 20Q_a - 35Q_b)$

Шаг 3: Найдём частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю

1. $\frac{\partial L}{\partial Q_a} = Q_b - 20\lambda = 0$
2. $\frac{\partial L}{\partial Q_b} = Q_a - 35\lambda = 0$
3. $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 500 - 20Q_a - 35Q_b = 0$

Шаг 4: Решение системы уравнений

Рассмотрим первые два уравнения:

1. $Q_b = 20\lambda$
2. $Q_a = 35\lambda$

Подставим значения $Q_a$ и $Q_b$ из этих уравнений в бюджетное ограничение:

$20 \cdot (35\lambda) + 35 \cdot (20\lambda) = 500$

$700\lambda + 700\lambda = 500$

$1400\lambda = 500$

$\lambda = \frac{500}{1400} = \frac{5}{14}$

Теперь подставим значение $\lambda$ обратно для нахождения $Q_a$ и $Q_b$:

$Q_a = 35 \cdot \frac{5}{14} = 12.5$ $Q_b = 20 \cdot \frac{5}{14} = 7.14$

Ответ

Максимальную полезность потребитель достигнет при покупке примерно $Q_a = 12.5$ единиц товара $A$ и $Q_b = 7.14$ единиц товара $B$.

---

Желаете подробности по использованию метода Лагранжа или есть вопросы?

Дополнительные вопросы для расширения темы:

1. Какова интерпретация множителя Лагранжа в экономическом контексте?
2. Как изменится решение, если бюджет потребителя увеличится?
3. Что произойдёт, если цена одного из товаров изменится?
4. Какое значение имеет кривая безразличия в задаче потребителя?
5. Как влияют разные формы функций полезности на оптимальный выбор потребителя?

Полезный совет:

Метод Лагранжа удобен для нахождения экстремумов функций при наличии ограничений, особенно в задачах экономики и оптимизации.