Math Problem Statement
Diketahui kepuasan konsumen dalam mengkonsumsi barang X dan Y adalah TU = XY^2. Jumlah anggaran konsumen adalah $300 dan harga barang X dan Y per unit masing-masing adalah $20 dan $40. Tentukan jumlah barang X dan Y agar mencapai kepuasan total dan tentukan besar kepuasan total tersebut!
Solution
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan konsep fungsi kepuasan total (TU), yang dalam hal ini diberikan oleh rumus:
Di mana:
- adalah jumlah barang X yang dibeli
- adalah jumlah barang Y yang dibeli
- Anggaran total konsumen adalah $300
- Harga barang X per unit adalah $20
- Harga barang Y per unit adalah $40
Langkah 1: Menyusun Fungsi Anggaran
Konsumen memiliki anggaran sebesar $300. Oleh karena itu, anggaran untuk membeli barang X dan Y dapat dituliskan sebagai:
Langkah 2: Mencari Kombinasi Barang X dan Y
Kita akan memaksimalkan kepuasan total dengan anggaran yang diberikan. Untuk itu, kita bisa menggunakan metode penyelesaian melalui Lagrange multiplier, namun sebelumnya mari kita coba untuk menyelesaikan masalah ini dengan cara substitusi.
Substitusi untuk Anggaran
Dari persamaan anggaran, kita dapat menyelesaikan untuk dalam hal :
Substitusi ke Fungsi Kepuasan
Sekarang, kita substitusikan nilai ke dalam fungsi kepuasan :
Langkah 3: Mencari Nilai yang Memaksimalkan
Untuk menemukan nilai yang memaksimalkan , kita perlu menghitung turunan pertama dari terhadap , dan menyamakan turunan tersebut dengan nol:
Setelah itu, kita set turunan pertama sama dengan nol untuk mencari nilai :
Solusi dari persamaan ini adalah atau .
Karena tidak masuk akal dalam konteks pembelian barang, maka kita ambil .
Langkah 4: Mencari Nilai
Sekarang kita substitusikan ke dalam persamaan :
Langkah 5: Menghitung Kepuasan Total
Dengan dan , kita substitusikan ke dalam fungsi kepuasan total:
Hasil:
- Jumlah barang X yang dibeli adalah 5 unit
- Jumlah barang Y yang dibeli adalah 5 unit
- Kepuasan total yang dicapai adalah 125
Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai langkah-langkah atau konsep yang digunakan?
Berikut beberapa pertanyaan terkait:
- Apa itu fungsi kepuasan total (TU) dalam teori ekonomi?
- Apa peran Lagrange multiplier dalam masalah optimasi seperti ini?
- Mengapa kita perlu menghitung turunan pertama untuk memaksimalkan fungsi?
- Bagaimana cara memaksimalkan kepuasan total jika anggaran konsumen berubah?
- Apa yang terjadi jika harga barang X atau Y berubah?
Tip: Dalam soal semacam ini, langkah pertama yang penting adalah menyusun persamaan anggaran, lalu mencari jumlah optimal barang dengan menggunakan konsep kalkulus atau substitusi.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Optimization
Calculus
Substitution
Lagrange Multiplier
Formulas
TU = X * Y^2
20X + 40Y = 300
d(TU)/dY = 30Y - 6Y^2
Theorems
Maximization of functions using derivatives
Lagrange Multiplier Method
Suitable Grade Level
College-level (Economics/Mathematics)
Related Recommendation
Utility Maximization with Budget Constraint for Goods A and B
Optimal Point Calculation with Utility Function and Budget Constraint
Optimization Problem: Utility Function U(x, y) = (4x)^2 * y with Budget Constraint
Cobb-Douglas Utility Function: Optimal Consumption and Lagrange Multiplier Method
Optimization Problem with Lagrange Multiplier: Indifference Curves and Budget Line