Math Problem Statement

Diketahui kepuasan konsumen dalam mengkonsumsi barang X dan Y adalah TU = XY^2. Jumlah anggaran konsumen adalah $300 dan harga barang X dan Y per unit masing-masing adalah $20 dan $40. Tentukan jumlah barang X dan Y agar mencapai kepuasan total dan tentukan besar kepuasan total tersebut!

Solution

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan konsep fungsi kepuasan total (TU), yang dalam hal ini diberikan oleh rumus:

TU=XY2TU = X \cdot Y^2

Di mana:

  • XX adalah jumlah barang X yang dibeli
  • YY adalah jumlah barang Y yang dibeli
  • Anggaran total konsumen adalah $300
  • Harga barang X per unit adalah $20
  • Harga barang Y per unit adalah $40

Langkah 1: Menyusun Fungsi Anggaran

Konsumen memiliki anggaran sebesar $300. Oleh karena itu, anggaran untuk membeli barang X dan Y dapat dituliskan sebagai:

20X+40Y=30020X + 40Y = 300

Langkah 2: Mencari Kombinasi Barang X dan Y

Kita akan memaksimalkan kepuasan total TU=XY2TU = X \cdot Y^2 dengan anggaran yang diberikan. Untuk itu, kita bisa menggunakan metode penyelesaian melalui Lagrange multiplier, namun sebelumnya mari kita coba untuk menyelesaikan masalah ini dengan cara substitusi.

Substitusi untuk Anggaran

Dari persamaan anggaran, kita dapat menyelesaikan untuk XX dalam hal YY:

20X=30040Y20X = 300 - 40Y

X=30040Y20X = \frac{300 - 40Y}{20}

X=152YX = 15 - 2Y

Substitusi ke Fungsi Kepuasan

Sekarang, kita substitusikan nilai X=152YX = 15 - 2Y ke dalam fungsi kepuasan TU=XY2TU = X \cdot Y^2:

TU=(152Y)Y2TU = (15 - 2Y) \cdot Y^2

TU=15Y22Y3TU = 15Y^2 - 2Y^3

Langkah 3: Mencari Nilai YY yang Memaksimalkan TUTU

Untuk menemukan nilai YY yang memaksimalkan TUTU, kita perlu menghitung turunan pertama dari TUTU terhadap YY, dan menyamakan turunan tersebut dengan nol:

d(TU)dY=30Y6Y2\frac{d(TU)}{dY} = 30Y - 6Y^2

Setelah itu, kita set turunan pertama sama dengan nol untuk mencari nilai YY:

30Y6Y2=030Y - 6Y^2 = 0

6Y(5Y)=06Y(5 - Y) = 0

Solusi dari persamaan ini adalah Y=0Y = 0 atau Y=5Y = 5.

Karena Y=0Y = 0 tidak masuk akal dalam konteks pembelian barang, maka kita ambil Y=5Y = 5.

Langkah 4: Mencari Nilai XX

Sekarang kita substitusikan Y=5Y = 5 ke dalam persamaan X=152YX = 15 - 2Y:

X=152(5)=1510=5X = 15 - 2(5) = 15 - 10 = 5

Langkah 5: Menghitung Kepuasan Total

Dengan X=5X = 5 dan Y=5Y = 5, kita substitusikan ke dalam fungsi kepuasan total:

TU=XY2=552=525=125TU = X \cdot Y^2 = 5 \cdot 5^2 = 5 \cdot 25 = 125

Hasil:

  • Jumlah barang X yang dibeli adalah 5 unit
  • Jumlah barang Y yang dibeli adalah 5 unit
  • Kepuasan total yang dicapai adalah 125

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai langkah-langkah atau konsep yang digunakan?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

  1. Apa itu fungsi kepuasan total (TU) dalam teori ekonomi?
  2. Apa peran Lagrange multiplier dalam masalah optimasi seperti ini?
  3. Mengapa kita perlu menghitung turunan pertama untuk memaksimalkan fungsi?
  4. Bagaimana cara memaksimalkan kepuasan total jika anggaran konsumen berubah?
  5. Apa yang terjadi jika harga barang X atau Y berubah?

Tip: Dalam soal semacam ini, langkah pertama yang penting adalah menyusun persamaan anggaran, lalu mencari jumlah optimal barang dengan menggunakan konsep kalkulus atau substitusi.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Optimization
Calculus
Substitution
Lagrange Multiplier

Formulas

TU = X * Y^2
20X + 40Y = 300
d(TU)/dY = 30Y - 6Y^2

Theorems

Maximization of functions using derivatives
Lagrange Multiplier Method

Suitable Grade Level

College-level (Economics/Mathematics)