Для нахождения оптимального выбора потребителя с функцией полезности $U(x, y) = (4x)^2 \cdot y$, при данных ценах $p_x = 4$, $p_y = 8$ и бюджете $I = 12$, используем метод Лагранжа.

1. Условие задачи

Оптимум достигается при максимизации полезности при бюджетном ограничении: $4x + 8y = 12.$

2. Функция Лагранжа

Функция Лагранжа: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = (4x)^2 \cdot y + \lambda (12 - 4x - 8y).$

3. Частные производные

Выпишем частные производные и приравняем их к н