buktikan atau turunkan kembali parameter rataan E(x) dan variansi untuk setiap distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu dari modul kuliah sebelumnya

Mari kita turunkan kembali rumus rataan (ekspektasi) \( E(X) \) dan variansi \( \text{Var}(X) \) untuk distribusi peluang diskrit dan kontinu.

### 1. **Distribusi Peluang Diskrit**

Untuk variabel acak diskrit \( X \), yang memiliki nilai-nilai \( x_1, x_2, \dots, x_n \) dengan peluang terkait \( P(X = x_i) = p_i \), rataan dan variansi dapat dihitung sebagai berikut:

#### a. **Rataan (Ekspektasi)**

Rataan (ekspektasi) dari variabel acak diskrit \( X \) adalah:

\[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
\]

Ini adalah jumlah dari hasil kali nilai \( x_i \) dengan peluang terkait \( p_i \).

#### b. **Variansi**

Variansi \( \text{Var}(X) \) didefinisikan sebagai ekspektasi dari kuadrat deviasi dari rataannya:

\[
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2]
\]

Untuk variabel acak diskrit, ini dapat ditulis sebagai:

\[
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
\]

Namun, ini juga dapat dihitung secara lebih mudah dengan formula alternatif:

\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]

Di mana \( E(X^2) \) adalah ekspektasi dari kuadrat \( X \), yaitu:

\[
E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i
\]

### 2. **Distribusi Peluang Kontinu**

Untuk variabel acak kontinu \( X \) dengan fungsi densitas peluang \( f(x) \), rataan dan variansi dapat dihitung sebagai berikut:

#### a. **Rataan (Ekspektasi)**

Rataan (ekspektasi) dari variabel acak kontinu \( X \) adalah:

\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
\]

Ini adalah integral dari hasil kali nilai \( x \) dengan fungsi densitas peluang \( f(x) \).

#### b. **Variansi**

Variansi \( \text{Var}(X) \) untuk variabel acak kontinu adalah:

\[
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
\]

Seperti pada kasus diskrit, kita bisa menggunakan formula alternatif untuk menghitung variansi:

\[
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]

Di mana \( E(X^2) \) untuk variabel acak kontinu adalah:

\[
E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx
\]

### Kesimpulan:

- **Rataan** \( E(X) \) menghitung rata-rata nilai dari \( X \) berdasarkan distribusi peluangnya.
- **Variansi** \( \text{Var}(X) \) mengukur penyebaran nilai \( X \) di sekitar rataannya.

Apakah penjelasan ini sudah cukup jelas? Ingin penjelasan lebih lanjut?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menghitung rataan dan variansi untuk distribusi binomial?
2. Bagaimana cara menghitung rataan dan variansi untuk distribusi normal?
3. Mengapa formula \( \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \) sering digunakan?
4. Bagaimana peran variansi dalam analisis statistika?
5. Bagaimana cara menentukan fungsi densitas peluang untuk distribusi kontinu?

**Tip:** Saat menghitung variansi, penting untuk mengingat bahwa variansi selalu non-negatif, karena merupakan rata-rata dari kuadrat deviasi dari rataannya.

Turunkan dan buktikan kembali rumus rataan E(X) dan variansi Var(X) untuk distribusi peluang diskrit dan kontinu. Penjelasan mencakup langkah-langkah lengkap dengan formula ekspektasi dan variansi serta penerapannya pada distribusi peluang. Cocok untuk mahasiswa tingkat Sarjana Statistika.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation