قوانين توزيع فيشر (F-Distribution)

توزيع فيشر يُستخدم على نطاق واسع في التحليل الإحصائي، ولفهمه بشكل صحيح يجب معرفة القوانين والنماذج الأساسية المرتبطة به. فيما يلي جميع القوانين الرئيسية والنماذج المتعلقة بتوزيع فيشر:

1. قانون توزيع فيشر الأساسي

إذا كان $X_1$ و $X_2$ متغيرين عشوائيين مستقلين يتبعان توزيع كاي تربيع بدرجات حرية $d_1$ و $d_2$ على التوالي، فإن توزيع F يعطى بالصيغة التالية: $F = \frac{(X_1 / d_1)}{(X_2 / d_2)}$

2. توزيع فيشر في تحليل التباين (ANOVA)

يستخدم في اختبار الفرضية القائلة بأن متوسطات المجموعات المتعددة متساوية. الصيغة العامة لنسبة F هي: $F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}$ حيث:

• MSB: متوسط التباين بين المجموعات (Mean Square Between groups)
• MSW: متوسط التباين داخل المجموعات (Mean Square Within groups)

3. درجات الحرية في توزيع فيشر

عند حساب توزيع فيشر، نحتاج إلى درجتي حرية:

• $d_1$: درجة الحرية لعدد المجموعات - 1
• $d_2$: درجة الحرية لعدد الأفراد داخل المجموعات - عدد المجموعات

4. توزيع فيشر في اختبار الفرضيات

يستخدم توزيع فيشر لاختبار فرضيات متعلقة بالتباينات، مثل:

• اختبار تجانس التباين: لاختبار ما إذا كانت تباينات العينات متساوية. $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$

5. توزيع فيشر في تحليل الانحدار

يستخدم لتحديد مدى ملاءمة نموذج الانحدار. الصيغة هي: $F = \frac{\text{SSR} / \text{df}_{\text{reg}}}{\text{SSE} / \text{df}_{\text{err}}}$ حيث:

• SSR: مجموع المربعات للتراجع (Sum of Squares for Regression)
• SSE: مجموع المربعات للخطأ (Sum of Squares for Error)
• $\text{df}_{\text{reg}}$: درجات الحرية للتراجع
• $\text{df}_{\text{err}}$: درجات الحرية للخطأ

6. الصيغة الاحتمالية لتوزيع فيشر

يمكن تمثيل دالة كثافة الاحتمال لتوزيع F على النحو التالي: $f(x; d_1, d_2) = \frac{(d_1 x)^{d_1 / 2} d_2^{d_2 / 2}}{B(d_1 / 2, d_2 / 2)} \left( \frac{d_1 x + d_2}{d_2} \right)^{-(d_1 + d_2) / 2}$ حيث $B$ هو دالة بيتا.

مثال عملي شامل

فرضية:

نريد اختبار ما إذا كان هناك فرق ذو دلالة إحصائية بين متوسطات ثلاثة أساليب تعليمية مختلفة بناءً على درجات الطلاب.

الخطوات:

1. جمع البيانات:

   • الأسلوب الأول: $\{85, 90, 88, 92, 86\}$
   • الأسلوب الثاني: $\{78, 74, 80, 76, 72\}$
   • الأسلوب الثالث: $\{89, 84, 91, 87, 90\}$

2. حساب المتوسطات:

   • متوسط الأسلوب الأول = $(85 + 90 + 88 + 92 + 86) / 5 = 88.2$
   • متوسط الأسلوب الثاني = $(78 + 74 + 80 + 76 + 72) / 5 = 76$
   • متوسط الأسلوب الثالث = $(89 + 84 + 91 + 87 + 90) / 5 = 88.2$

3. حساب التباينات داخل وبين المجموعات:

   • التباين الكلي = مجموع التباينات لكل مجموعة + التباينات بين المجموعات.
   • حساب التباينات داخل المجموعات يتطلب حساب التباين لكل مجموعة على حدة ومن ثم جمعها.
   • حساب التباين بين المجموعات يعتمد على الفرق بين متوسطات المجموعات ومتوسط جميع البيانات.

4. اختبار الفرضية باستخدام ANOVA:

   • احسب نسبة F باستخدام التباينات المحسوبة.
   • قارن قيمة F المحسوبة بالقيمة الجدولية لتوزيع F عند مستوى دلالة معين ودرجات الحرية المناسبة.

5. النتيجة:

   • إذا كانت القيمة المحسوبة أكبر من القيمة الجدولية، نرفض الفرضية الصفرية ونستنتج أن هناك فرقًا ذا دلالة إحصائية بين الأساليب التعليمية الثلاثة.

الأسئلة الممكنة:

1. ما هي الشروط اللازمة لاستخدام توزيع فيشر؟
2. كيف يتم حساب درجات الحرية في توزيع فيشر؟
3. كيف يتم تفسير نتائج اختبار F في تحليل التباين؟
4. ما الفرق بين تحليل التباين الأحادي والثنائي؟
5. ما هي بعض القيود أو الافتراضات التي يجب مراعاتها عند استخدام توزيع فيشر؟

نصيحة

عند استخدام توزيع فيشر في تطبيقات عملية، تأكد من تحقق الفروض الأساسية لتحليل التباين مثل تجانس التباين واستقلالية العينات للحصول على نتائج دقيقة وموثوقة.