Tentukan nilai turunan fungsi implisit  x^3+3xy^2+〖3x〗^2 y+y^3=0  di titik (1,1)

Kita akan menentukan turunan implisit dari fungsi \( x^3 + 3xy^2 + 3x^2 y + y^3 = 0 \), lalu menghitung nilai turunannya di titik \( (1, 1) \).

### Langkah-langkah:

1. **Turunkan persamaan terhadap \( x \)** secara implisit, dengan menggunakan aturan rantai untuk turunan yang melibatkan \( y \) (karena \( y \) merupakan fungsi dari \( x \)).

Persamaan asli:
\[
x^3 + 3xy^2 + 3x^2 y + y^3 = 0
\]

2. **Turunkan masing-masing suku:**
   - \( \frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2 \)
   - \( \frac{d}{dx} (3xy^2) = 3 \left( y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} \right) \) (menggunakan aturan produk)
   - \( \frac{d}{dx} (3x^2 y) = 3 \left( 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} \right) \) (menggunakan aturan produk)
   - \( \frac{d}{dx} (y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx} \) (menggunakan aturan rantai)

3. **Gabungkan hasil turunan:**
\[
3x^2 + 3\left( y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} \right) + 3\left( 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} \right) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0
\]

4. **Sederhanakan persamaan:**
\[
3x^2 + 3y^2 + 6xy \frac{dy}{dx} + 6xy + 3x^2 \frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0
\]

5. **Kelompokkan turunan \( \frac{dy}{dx} \):**
\[
3x^2 + 3y^2 + 6xy + (6xy + 3x^2 + 3y^2) \frac{dy}{dx} = 0
\]

6. **Isolasi \( \frac{dy}{dx} \):**
\[
(6xy + 3x^2 + 3y^2) \frac{dy}{dx} = -(3x^2 + 3y^2 + 6xy)
\]

7. **Hitung \( \frac{dy}{dx} \):**
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-(3x^2 + 3y^2 + 6xy)}{6xy + 3x^2 + 3y^2}
\]

8. **Substitusi titik \( (1, 1) \):**

Substitusi \( x = 1 \) dan \( y = 1 \) ke dalam persamaan:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-(3(1)^2 + 3(1)^2 + 6(1)(1))}{6(1)(1) + 3(1)^2 + 3(1)^2}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-(3 + 3 + 6)}{6 + 3 + 3}
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-12}{12} = -1
\]

### Jadi, nilai turunan \( \frac{dy}{dx} \) di titik \( (1, 1) \) adalah \( -1 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? Berikut adalah beberapa soal terkait:

1. Temukan turunan kedua dari fungsi implisit di atas.
2. Tentukan turunan pertama dari \( y \) terhadap \( x \) jika \( y \) didefinisikan secara eksplisit sebagai fungsi dari \( x \).
3. Apa yang terjadi jika Anda mengubah titik (1, 1) menjadi titik lain?
4. Bagaimana cara menerapkan aturan rantai dalam turunan fungsi implisit?
5. Apa makna geometris dari nilai turunan di titik (1, 1)?

**Tip:** Saat menyelesaikan turunan implisit, ingatlah untuk menerapkan aturan rantai setiap kali ada \( y \), karena \( y \) adalah fungsi dari \( x \).

Tentukan nilai turunan fungsi implisit x^3+3xy^2+〖3x〗^2 y+y^3=0 di titik (1,1)

Pelajari cara menentukan turunan implisit dari fungsi x^3 + 3xy^2 + 3x^2y + y^3 = 0 di titik (1,1) dengan menggunakan aturan rantai dan aturan produk. Panduan langkah demi langkah ini cocok untuk siswa tingkat SMA yang sedang mempelajari kalkulus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation