https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726243640163jrdfsa1c.jpg

Soal ini meminta kita untuk menentukan persamaan garis singgung dari kurva \((x^2 + y)^2 = 4x^2y\) di titik \((1, 1)\).

Langkah-langkah yang perlu kita lakukan:

1. **Menurunkan persamaan secara implisit**:
   Karena persamaannya berbentuk implisit, kita harus menggunakan turunan implisit untuk mencari \(\frac{dy}{dx}\) atau gradien garis singgung di titik yang diberikan.

   Persamaan yang diberikan adalah:
   \[
   (x^2 + y)^2 = 4x^2y
   \]
   
2. **Turunan kedua sisi persamaan**:
   Untuk menurunkan kedua sisi persamaan terhadap \(x\), kita perlu menggunakan aturan rantai dan aturan produk.

   - Turunan dari sisi kiri: \((x^2 + y)^2\)
     \[
     2(x^2 + y)(2x + \frac{dy}{dx})
     \]
     
   - Turunan dari sisi kanan: \(4x^2y\)
     \[
     4(2xy + x^2\frac{dy}{dx})
     \]

   Jadi, kita dapatkan persamaan setelah diturunkan:
   \[
   2(x^2 + y)(2x + \frac{dy}{dx}) = 4(2xy + x^2\frac{dy}{dx})
   \]

3. **Substitusi titik \((1, 1)\)**:
   Setelah menurunkan persamaan, kita substitusi \(x = 1\) dan \(y = 1\) ke dalam persamaan untuk mencari gradien atau kemiringan garis singgung \(\frac{dy}{dx}\).

4. **Persamaan garis singgung**:
   Persamaan garis singgung di titik \((x_1, y_1)\) dengan gradien \(m\) adalah:
   \[
   y - y_1 = m(x - x_1)
   \]
   Setelah mendapatkan nilai \(m\), kita substitusi \(x_1 = 1\) dan \(y_1 = 1\) untuk mendapatkan persamaan garis singgung.

Mari kita selesaikan langkah-langkah ini dengan turunan yang lebih rinci.Setelah menyelesaikan turunan implisit dan mencoba menyubstitusi titik \((1, 1)\), ternyata tidak ada solusi untuk gradien garis singgung di titik tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa ada kemungkinan bahwa gradien atau kemiringan di titik \((1, 1)\) tidak terdefinisi.

Situasi ini biasanya menunjukkan bahwa di titik \((1, 1)\), kurva memiliki sifat khusus seperti garis singgung vertikal atau horisontal, atau bahkan mungkin merupakan titik kritis atau singularitas pada kurva.

Apakah Anda ingin mencoba langkah selanjutnya, seperti menganalisis kurva lebih lanjut atau menguji titik lain di sekitar \((1, 1)\)? Jika ada pertanyaan atau ingin penjelasan lebih lanjut, saya siap membantu.

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:
1. Apa perbedaan antara turunan eksplisit dan turunan implisit dalam analisis kurva?
2. Bagaimana mendeteksi titik singularitas pada suatu kurva aljabar?
3. Apakah semua titik pada suatu kurva memiliki garis singgung yang jelas?
4. Apa yang menyebabkan gradien garis singgung tidak terdefinisi pada beberapa titik?
5. Bagaimana memeriksa bentuk kurva secara lokal di sekitar titik kritis?

**Tip**: Dalam analisis turunan implisit, jika gradien tidak terdefinisi, ini bisa berarti bahwa kurva mungkin memiliki titik khusus, seperti titik belok atau titik di mana tidak ada kemiringan yang dapat diukur secara langsung.

Tentukan persamaan garis singgung dari kurva (x^2 + y)^2 = 4x^2y di titik (1, 1).

Pelajari cara menentukan persamaan garis singgung dari kurva (x^2 + y)^2 = 4x^2y di titik (1, 1) menggunakan turunan implisit. Langkah-langkah mencakup penggunaan aturan rantai, turunan implisit, dan substitusi untuk mendapatkan gradien garis singgung.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation