https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1727315955106ohstkrrh.jpg

Soal ini meminta untuk mencari turunan kedua \( \frac{d^2y}{dx^2} \) dari persamaan yang diberikan.

Persamaan yang perlu dihitung adalah:

\[
y^2 - 2x = 1 - 2y
\]

### Langkah-langkah untuk mencari turunan kedua:

1. **Sederhanakan persamaan**:
   \[
   y^2 - 2x = 1 - 2y \quad \text{atau} \quad y^2 + 2y - 2x = 1
   \]

2. **Turunan pertama** menggunakan turunan implisit:
   - Turunan dari \( y^2 \) adalah \( 2y \frac{dy}{dx} \).
   - Turunan dari \( 2x \) adalah 2.
   - Turunan dari \( 2y \) adalah \( 2 \frac{dy}{dx} \).
   - Turunan dari 1 adalah 0.
   
   Setelah mengambil turunan terhadap \( x \), kita peroleh:
   \[
   2y \frac{dy}{dx} + 2 \frac{dy}{dx} - 2 = 0
   \]
   
3. **Sederhanakan turunan pertama**:
   Gabungkan suku-suku yang mengandung \( \frac{dy}{dx} \):
   \[
   (2y + 2) \frac{dy}{dx} = 2
   \]
   Sehingga:
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y + 2}
   \]
   atau
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y + 1}
   \]

4. **Turunan kedua**:
   Gunakan aturan rantai untuk mencari turunan kedua \( \frac{d^2y}{dx^2} \).
   Ambil turunan dari \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y + 1} \):
   \[
   \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{y + 1} \right)
   \]
   Dengan aturan rantai:
   \[
   \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(y + 1)^2} \cdot \frac{dy}{dx}
   \]
   Substitusi \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y + 1} \):
   \[
   \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(y + 1)^2} \cdot \frac{1}{y + 1}
   \]
   Sehingga:
   \[
   \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(y + 1)^3}
   \]

Hasil akhirnya adalah:
\[
\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(y + 1)^3}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai langkah-langkah ini atau ada pertanyaan lain?

### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menggunakan aturan rantai dalam turunan implisit?
2. Apa peran dari turunan implisit dalam menyelesaikan soal seperti ini?
3. Bagaimana cara menyederhanakan persamaan turunan pertama secara sistematis?
4. Bagaimana pengaruh variabel-variabel terhadap hasil akhir turunan kedua?
5. Apakah turunan kedua selalu dapat dihitung dengan cara yang sama?

### Tip:
Selalu periksa apakah persamaan dapat disederhanakan terlebih dahulu sebelum melakukan turunan, agar proses derivasi menjadi lebih mudah.

Carilah d^2y/dx^2 dari fungsi berikut: y^2 - 2x = 1 - 2y

Panduan langkah demi langkah untuk mencari turunan kedua (d^2y/dx^2) dari persamaan y^2 - 2x = 1 - 2y menggunakan turunan implisit dan aturan rantai. Cocok untuk siswa SMA atau tingkat dasar kuliah.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation