Теорема (о связи непрерывности и дифференцируемости функции в точке):

Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x = a$, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x = a$. Это означает, что существует конечный предел при $x \to a$ выражения $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$ Распишем это определение следующим образом: $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a),$ где $f'(a)$ — конечное число.

Теперь умножим обе стороны предельного выражения на $(x - a)$ и получим: $\lim_{x \to a} \left( f(x) - f(a) \right) = \lim_{x \to a} \left( f'(a) \cdot (x - a) \right).$ Так как $f'(a)$ — конечное число, то $\lim_{x \to a} f(x) - f(a) = 0.$ Это означает, что $\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$ Таким образом, функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = a$.

Вывод: Дифференцируемость функции в точке $x = a$ влечет её непрерывность в этой точке.

Примечание: Обратное утверждение, что непрерывность функции в точке влечет её дифференцируемость, не верно. Примером может служить функция $f(x) = |x|$, которая непрерывна в точке $x = 0$, но не дифференцируема в этой точке.

Есть ли у вас вопросы по доказательству, или требуется больше деталей?

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Какие условия нужны для дифференцируемости функции на интервале?
2. Как связаны гладкость функции и её производная?
3. Какие существуют примеры функций, которые непрерывны, но не дифференцируемы в точке?
4. Как выглядит геометрический смысл производной?
5. Какой смысл несет разрыв производной функции?

Совет: Чтобы понять связь дифференцируемости и непрерывности глубже, представьте графики функций с острыми углами или разрывами, чтобы визуализировать поведение производной.