Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции в точке

Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть $f(x)$ — дифференцируемая функция в точке $x_0$. Это означает, что существует конечный предел разностного отношения:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Из этого следует, что

$\lim_{h \to 0} \left( f(x_0 + h) - f(x_0) \right) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot h \right) = f'(x_0) \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы получили, что

$\lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0)$

А это и есть определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$. Следовательно, если функция дифференцируема в точке $x_0$, то она также непрерывна в этой точке.

Заключение: Дифференцируемость функции в точке всегда влечет её непрерывность в этой точке, однако обратное не всегда верно: непрерывная функция может быть недифференцируема в точке.

Желаете, чтобы я привел подробное объяснение?

Вопросы для расширения темы:

1. Как можно показать обратное утверждение, то есть, что непрерывность не всегда гарантирует дифференцируемость?
2. Какие примеры существуют для функций, которые непрерывны, но недифференцируемы в конкретной точке?
3. В чем различие между дифференцируемостью и гладкостью функции?
4. Как изменится доказательство для функций нескольких переменных?
5. Как можно применить эту теорему в задачах математического анализа?

Совет:

Всегда проверяйте дифференцируемость функции через предел разностного отношения, чтобы избежать ошибок в случаях, когда функция непрерывна, но недифференцируема.