Теорема о связи дифференцируемости функции в точке и существовании её производной:

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то она имеет производную в этой точке, и её производная равна значению дифференциала функции в этой точке.

Формально, теорема формулируется так:

Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то существует конечная производная $f'(x_0)$, и её значение может быть найдено по формуле: $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$

Доказательство:

1. По определению, функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, если существует такая линейная функция $L(h) = Ah$, что выполняется разложение: $f(x_0 + h) = f(x_0) + L(h) + o(h) = f(x_0) + Ah + o(h),$ где $A$ — константа, а $o(h)$ — функция, стремящаяся к нулю быстрее, чем $h$ при $h \to 0$.

2. Выразим разность $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ через это разложение: $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{Ah + o(h)}{h} = A + \frac{o(h)}{h}.$

3. Так как $o(h) \to 0$ при $h \to 0$, то $\frac{o(h)}{h} \to 0$ при $h \to 0$.

4. Следовательно, при $h \to 0$ предел $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ существует и равен $A$: $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = A.$

5. По определению производной, $f'(x_0) = A$.

Таким образом, если функция дифференцируема в точке $x_0$, то она имеет конечную производную в этой точке, равную значению коэффициента $A$ в линейном разложении при $h \to 0$.

Вывод: Дифференцируемость функции в точке $x_0$ подразумевает существование производной в этой точке.

Хотите рассмотреть пример или подробнее разобрать какой-то шаг доказательства? Вот несколько вопросов для размышления:

1. Чем отличается понятие дифференцируемости функции от понятия существования производной?
2. Почему функция может иметь конечную производную в точке, но не быть дифференцируемой?
3. Как связаны понятия дифференциала и производной в контексте дифференцируемости?
4. Можно ли считать производную функцией, и как она зависит от дифференцируемости функции?
5. Какие практические приложения этой теоремы можно найти в физике или экономике?

Совет: При решении задач с использованием этой теоремы всегда проверяйте, выполнено ли разложение функции в окрестности точки для дифференцируемости.