Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции в точке

Формулировка: Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x = a$, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

1. Пусть $f(x)$ — функция, дифференцируемая в точке $x = a$. Это означает, что существует конечный предел $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$

2. Воспользуемся определением дифференцируемости, представив разность $f(x) - f(a)$ в следующем виде: $f(x) - f(a) = f'(a)(x - a) + \alpha(x)(x - a),$ где $\alpha(x) \to 0$ при $x \to a$.

3. Разделим обе части равенства на $x - a$ (для $x \neq a$), и тогда получим: $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) + \alpha(x).$

4. Так как по условию $f(x)$ дифференцируема в точке $x = a$, то при $x \to a$ $\alpha(x) \to 0$. Следовательно, $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a),$ и, следовательно, $f(x) - f(a) \to 0 \text{ при } x \to a.$

5. Получается, что $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Это и означает, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = a$.

Вывод: Дифференцируемость функции в точке влечет её непрерывность в этой точке. Однако обратное утверждение неверно: непрерывность функции в точке не гарантирует её дифференцируемость в этой точке.

Хотите, чтобы я привел примеры функций, которые являются непрерывными, но не дифференцируемыми? Или же у вас есть вопросы?

Дополнительные вопросы:

1. Как пример функции, которая непрерывна, но не дифференцируема, может помочь в понимании данной теоремы?
2. Какие еще важные теоремы связаны с понятием дифференцируемости и непрерывности функций?
3. Как связаны понятия производной и лимита, примененные в этой теореме?
4. Можно ли применить эту теорему для функций нескольких переменных? Если да, то как?
5. Чем отличается понятие односторонней дифференцируемости и как оно влияет на непрерывность функции?

Совет: В изучении дифференцируемости всегда полезно помнить, что, хотя дифференцируемость подразумевает непрерывность, обратное неверно.