В новом офисе на этаже 200 рабочих мест (пронумерованных числами от 1 до 200), над каждым из которых есть личное освещение: оно может или гореть, или нет. На этаже есть три странных выключателя. Первый выключатель меняет состояние освещённости (если свет горел — то перестаёт, если не горел — начинает гореть) над всеми 200 рабочими местами. Второй — над всеми номерами с нечётными номером. Третий — над всеми номерами, дающими остаток 2 при делении на 3. Во время вечеринки пара сотрудников решили устроить «дискотеку»: бездумно нажимали на эти три выключателя, суммарно сделав 1000 нажатий. Перед вечеринкой все рабочие места были освещены. После — места 33 и 34 не были освещены. А сколько мест были освещены после вечеринки?

### Формализация задачи

У нас есть 200 рабочих мест, каждая из которых имеет начальное состояние "освещено" (то есть свет включён). Каждое рабочее место имеет номер от 1 до 200. Над этими местами можно управлять освещением с помощью трёх выключателей:

- **Первый выключатель** меняет состояние всех мест.
- **Второй выключатель** меняет состояние мест с нечётными номерами.
- **Третий выключатель** меняет состояние мест, номера которых дают остаток 2 при делении на 3.

Сотрудники на вечеринке совершили 1000 нажатий на выключатели. В результате, после всех нажатий, места с номерами 33 и 34 оказались не освещены. Необходимо найти, сколько мест было освещено после вечеринки.

### Алгоритм решения

1. **Начальное состояние**: Все места освещены, то есть все находятся в состоянии "включено".

2. **Воздействие выключателей**:
    - Первый выключатель инвертирует состояние всех мест: если место освещено, то оно гаснет, и наоборот.
    - Второй выключатель инвертирует состояние всех нечётных мест.
    - Третий выключатель инвертирует состояние всех мест, номера которых дают остаток 2 при делении на 3.

3. **Анализ условия по номерам 33 и 34**:
    - Место №33 не освещено. Поскольку номер 33 нечётный, то второй выключатель может влиять на него. Также, так как \( 33 \mod 3 = 0 \), третий выключатель не влияет на номер 33.
    - Место №34 также не освещено. Поскольку номер 34 чётный, то второй выключатель на него не влияет, но \( 34 \mod 3 = 1 \), третий выключатель также не затрагивает этот номер напрямую.

4. **Количество включений**:
    Чтобы понять общее количество включённых ламп, нужно учесть, что состояние ламп после каждого нажатия переключается. Информацию о номерах 33 и 34 можно использовать для предположения количества нажатий каждого выключателя и выведения общей закономерности. Рассчитаем это.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. Would you like to explore the problem further or discuss alternative steps? Here are a few related questions to consider:

1. How does each switch's behavior impact specific positions, like those divisible by 2 or 3?
2. Can you identify patterns in the number of places affected by different switches?
3. What happens to the total number of lit places if the switches are pressed in a specific sequence?
4. How does knowing that places 33 and 34 are not lit after 1000 presses help deduce the final state?
5. Could you use a mathematical formula to model the final count of lit places?

**Tip**: Visualizing the state changes of a smaller set of places (like 10 or 20) can help understand the overall behavior of the switches.

Solve a unique problem involving 200 desks with individual lights and three switches that change the lighting conditions based on number properties like odd numbers and divisibility by 3. Explore how 1000 switch presses affect which lights remain on, using modular arithmetic and combinatorics. Suitable for advanced students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation