Формализация задачи

У нас есть 200 рабочих мест, каждая из которых имеет начальное состояние "освещено" (то есть свет включён). Каждое рабочее место имеет номер от 1 до 200. Над этими местами можно управлять освещением с помощью трёх выключателей:

• Первый выключатель меняет состояние всех мест.
• Второй выключатель меняет состояние мест с нечётными номерами.
• Третий выключатель меняет состояние мест, номера которых дают остаток 2 при делении на 3.

Сотрудники на вечеринке совершили 1000 нажатий на выключатели. В результате, после всех нажатий, места с номерами 33 и 34 оказались не освещены. Необходимо найти, сколько мест было освещено после вечеринки.

Алгоритм решения

1. Начальное состояние: Все места освещены, то есть все находятся в состоянии "включено".

2. Воздействие выключателей:

   • Первый выключатель инвертирует состояние всех мест: если место освещено, то оно гаснет, и наоборот.
   • Второй выключатель инвертирует состояние всех нечётных мест.
   • Третий выключатель инвертирует состояние всех мест, номера которых дают остаток 2 при делении на 3.

3. Анализ условия по номерам 33 и 34:

   • Место №33 не освещено. Поскольку номер 33 нечётный, то второй выключатель может влиять на него. Также, так как $33 \mod 3 = 0$, третий выключатель не влияет на номер 33.
   • Место №34 также не освещено. Поскольку номер 34 чётный, то второй выключатель на него не влияет, но $34 \mod 3 = 1$, третий выключатель также не затрагивает этот номер напрямую.

4. Количество включений: Чтобы понять общее количество включённых ламп, нужно учесть, что состояние ламп после каждого нажатия переключается. Информацию о номерах 33 и 34 можно использовать для предположения количества нажатий каждого выключателя и выведения общей закономерности. Рассчитаем это.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. Would you like to explore the problem further or discuss alternative steps? Here are a few related questions to consider:

5. How does each switch's behavior impact specific positions, like those divisible by 2 or 3?

6. Can you identify patterns in the number of places affected by different switches?

7. What happens to the total number of lit places if the switches are pressed in a specific sequence?

8. How does knowing that places 33 and 34 are not lit after 1000 presses help deduce the final state?

9. Could you use a mathematical formula to model the final count of lit places?

Tip: Visualizing the state changes of a smaller set of places (like 10 or 20) can help understand the overall behavior of the switches.