В новом офисе на этаже 200 рабочих мест (пронумерованных числами от 1 до 200), над каждым из которых есть личное освещение: оно может или гореть, или нет. На этаже есть три странных выключателя. Первый выключатель меняет состояние освещённости (если свет горел — то перестаёт, если не горел — начинает гореть) над всеми 200 рабочими местами. Второй — над всеми номерами с нечётными номером. Третий — над всеми номерами, дающими остаток 2 при делении на 3. Во время вечеринки пара сотрудников решили устроить «дискотеку»: бездумно нажимали на эти три выключателя, суммарно сделав 1000 нажатий. Перед вечеринкой все рабочие места были освещены. После — места 33 и 34 не были освещены. А сколько мест были освещены после вечеринки?

Для решения этой задачи будем рассматривать, как изменяется состояние каждого рабочего места под воздействием каждого выключателя.

### Обозначения
- Пусть \( x_1, x_2, \ldots, x_{200} \) обозначают состояния освещения рабочих мест, где \( x_i = 1 \) означает, что место \( i \) освещено, а \( x_i = 0 \) — что оно не освещено.

### Действия выключателей:
1. **Первый выключатель** меняет состояние всех рабочих мест. Это означает, что если \( x_i = 1 \), то станет \( x_i = 0 \), и наоборот.
2. **Второй выключатель** меняет состояние всех рабочих мест с нечётными номерами \( i \), где \( i \) нечётное.
3. **Третий выключатель** меняет состояние всех рабочих мест, у которых номер даёт остаток 2 при делении на 3. То есть, он меняет состояние тех рабочих мест, для которых \( i \equiv 2 \pmod{3} \).

### Наблюдения
Изначально все рабочие места были освещены, то есть, \( x_i = 1 \) для всех \( i = 1, 2, \ldots, 200 \).

Нам известно, что после 1000 нажатий на выключатели рабочие места 33 и 34 оказались неосвещёнными, то есть, \( x_{33} = 0 \) и \( x_{34} = 0 \).

Теперь попробуем анализировать это с точки зрения каждого выключателя. На каждый рабочий стол могут воздействовать:
- Первый выключатель (он воздействует на все столы).
- Второй выключатель (он воздействует на нечётные столы).
- Третий выключатель (он воздействует на столы, дающие остаток 2 при делении на 3).

### Шаг 1: Уравнение на количество переключений
Каждый рабочий стол \( i \) меняет своё состояние при нажатиях на выключатели. Чётность числа изменений состояния каждого рабочего места важна:
- Если число нажатий на выключатели, влияющие на данное рабочее место, чётно, то его состояние не изменится (останется \( x_i = 1 \)).
- Если число нажатий нечётно, то его состояние изменится (будет \( x_i = 0 \)).

Мы можем описать число переключений каждого места как сумму влияний трёх выключателей. Выключатели действуют следующим образом:
- Первый выключатель меняет состояние всех мест, т.е. влияет на все 200 мест.
- Второй выключатель влияет на места с нечётными номерами.
- Третий выключатель влияет на места, дающие остаток 2 при делении на 3.

### Шаг 2: Проверка мест 33 и 34
Теперь проверим, сколько раз могли быть затронуты места 33 и 34:
- Место 33: оно нечётное (влияет второй выключатель) и даёт остаток 0 при делении на 3 (третий выключатель не влияет).
- Место 34: оно чётное (второй выключатель не влияет) и даёт остаток 1 при делении на 3 (третий выключатель тоже не влияет).

Так как места 33 и 34 оказались неосвещёнными, это означает, что на них воздействовали выключатели нечётное число раз.

### Шаг 3: Поиск общего решения
Количество освещённых мест после вечеринки можем найти, исходя из того, что на каждое место воздействуют выключатели определённое число раз. Мы знаем, что изначально все места были освещены, и после 1000 нажатий некоторые из них остались освещёнными, а некоторые — нет.

### Ответ:
Так как освещённость двух мест точно изменилась, а нажатий было 1000, можно предположить, что большинство мест остаются освещёнными. Точный ответ будет: **около 100 мест остались освещёнными**, но точное количество зависит от последовательности нажатий на выключатели.

Solve an intriguing combinatorics problem where switches control the lighting of 200 desks in an office. Learn how modular arithmetic and logical operations can determine which desks remain lit after 1000 random switch presses. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation