Для решения этой задачи будем рассматривать, как изменяется состояние каждого рабочего места под воздействием каждого выключателя.

Обозначения

• Пусть $x_1, x_2, \ldots, x_{200}$ обозначают состояния освещения рабочих мест, где $x_i = 1$ означает, что место $i$ освещено, а $x_i = 0$ — что оно не освещено.

Действия выключателей:

1. Первый выключатель меняет состояние всех рабочих мест. Это означает, что если $x_i = 1$, то станет $x_i = 0$, и наоборот.
2. Второй выключатель меняет состояние всех рабочих мест с нечётными номерами $i$, где $i$ нечётное.
3. Третий выключатель меняет состояние всех рабочих мест, у которых номер даёт остаток 2 при делении на 3. То есть, он меняет состояние тех рабочих мест, для которых $i \equiv 2 \pmod{3}$.

Наблюдения

Изначально все рабочие места были освещены, то есть, $x_i = 1$ для всех $i = 1, 2, \ldots, 200$.

Нам известно, что после 1000 нажатий на выключатели рабочие места 33 и 34 оказались неосвещёнными, то есть, $x_{33} = 0$ и $x_{34} = 0$.

Теперь попробуем анализировать это с точки зрения каждого выключателя. На каждый рабочий стол могут воздействовать:

• Первый выключатель (он воздействует на все столы).
• Второй выключатель (он воздействует на нечётные столы).
• Третий выключатель (он воздействует на столы, дающие остаток 2 при делении на 3).

Шаг 1: Уравнение на количество переключений

Каждый рабочий стол $i$ меняет своё состояние при нажатиях на выключатели. Чётность числа изменений состояния каждого рабочего места важна:

• Если число нажатий на выключатели, влияющие на данное рабочее место, чётно, то его состояние не изменится (останется $x_i = 1$).
• Если число нажатий нечётно, то его состояние изменится (будет $x_i = 0$).

Мы можем описать число переключений каждого места как сумму влияний трёх выключателей. Выключатели действуют следующим образом:

• Первый выключатель меняет состояние всех мест, т.е. влияет на все 200 мест.
• Второй выключатель влияет на места с нечётными номерами.
• Третий выключатель влияет на места, дающие остаток 2 при делении на 3.

Шаг 2: Проверка мест 33 и 34

Теперь проверим, сколько раз могли быть затронуты места 33 и 34:

• Место 33: оно нечётное (влияет второй выключатель) и даёт остаток 0 при делении на 3 (третий выключатель не влияет).
• Место 34: оно чётное (второй выключатель не влияет) и даёт остаток 1 при делении на 3 (третий выключатель тоже не влияет).

Так как места 33 и 34 оказались неосвещёнными, это означает, что на них воздействовали выключатели нечётное число раз.

Шаг 3: Поиск общего решения

Количество освещённых мест после вечеринки можем найти, исходя из того, что на каждое место воздействуют выключатели определённое число раз. Мы знаем, что изначально все места были освещены, и после 1000 нажатий некоторые из них остались освещёнными, а некоторые — нет.

Ответ:

Так как освещённость двух мест точно изменилась, а нажатий было 1000, можно предположить, что большинство мест остаются освещёнными. Точный ответ будет: около 100 мест остались освещёнными, но точное количество зависит от последовательности нажатий на выключатели.