У нас есть 200 рабочих мест, каждое из которых может быть освещено или нет. Перед началом вечеринки все места были освещены, и существует три выключателя, которые могут изменять состояние освещённости.

Обозначения:

• Пусть $x_i$ — состояние освещённости $i$-го рабочего места, где $x_i = 1$ означает, что оно освещено, а $x_i = 0$ — что не освещено.
• В начале все $x_i = 1$.
• Первый выключатель меняет состояние всех мест, второй выключатель меняет состояние всех мест с нечётным номером, а третий — всех мест, которые при делении на 3 дают остаток 2.

Известно, что сотрудники сделали в сумме 1000 нажатий на выключатели и что рабочие места с номерами 33 и 34 в итоге не освещены, т.е. $x_{33} = x_{34} = 0$.

Разберёмся, как действуют выключатели:

1. Первый выключатель меняет состояние всех мест $x_i$, т.е. если место $i$ было включено, оно выключается, и наоборот.
2. Второй выключатель меняет состояние только для нечётных номеров $i$, т.е. для всех $i$, таких что $i \equiv 1 \pmod{2}$.
3. Третий выключатель меняет состояние для всех мест с номерами, которые дают остаток 2 при делении на 3, т.е. для всех $i$, таких что $i \equiv 2 \pmod{3}$.

Опишем систему уравнений для мест 33 и 34:

• Номер 33 нечётный, $33 \equiv 0 \pmod{3}$, следовательно, первый и второй выключатели изменяют его состояние.
• Номер 34 чётный, $34 \equiv 1 \pmod{3}$, на него влияют первый и третий выключатели.

Шаги решения:

1. Анализ паритета и кратности изменений: Каждое место освещается, если количество изменений его состояния нечётно. Следовательно, если для какого-то места было нечётное число нажатий, то свет включён, если чётное — то выключен.

2. Система уравнений для мест 33 и 34:

   • Место 33 связано с первым и вторым выключателем, а место 34 с первым и третьим выключателем. Чётное количество изменений соответствует тому, что свет в конце не горит.

Решение:

Мы можем предположить, что включение-выключение состояния для места зависит от чётности числа изменений. В итоге, определение того, сколько мест освещено, включает вычисление общего количества изменений для каждого места.

Наконец, для нахождения общего количества мест после вечеринки, где освещение включено, нужно рассчитать паритет изменений для всех 200 мест.