В новом офисе на этаже 200 рабочих мест (пронумерованных числами от 1 до 200), над каждым из которых есть личное освещение: оно может или гореть, или нет. На этаже есть три странных выключателя. Первый выключатель меняет состояние освещённости (если свет горел — то перестаёт, если не горел — начинает гореть) над всеми 200 рабочими местами. Второй — над всеми номерами с нечётными номером. Третий — над всеми номерами, дающими остаток 2 при делении на 3. Во время вечеринки пара сотрудников решили устроить «дискотеку»: бездумно нажимали на эти три выключателя, суммарно сделав 1000 нажатий. Перед вечеринкой все рабочие места были освещены. После — места 33 и 34 не были освещены. А сколько мест были освещены после вечеринки?

У нас есть 200 рабочих мест, каждое из которых может быть освещено или нет. Перед началом вечеринки все места были освещены, и существует три выключателя, которые могут изменять состояние освещённости.

### Обозначения:
- Пусть \( x_i \) — состояние освещённости \( i \)-го рабочего места, где \( x_i = 1 \) означает, что оно освещено, а \( x_i = 0 \) — что не освещено.
- В начале все \( x_i = 1 \).
- Первый выключатель меняет состояние всех мест, второй выключатель меняет состояние всех мест с нечётным номером, а третий — всех мест, которые при делении на 3 дают остаток 2.

Известно, что сотрудники сделали в сумме 1000 нажатий на выключатели и что рабочие места с номерами 33 и 34 в итоге не освещены, т.е. \( x_{33} = x_{34} = 0 \).

### Разберёмся, как действуют выключатели:
1. **Первый выключатель** меняет состояние всех мест \( x_i \), т.е. если место \( i \) было включено, оно выключается, и наоборот.
2. **Второй выключатель** меняет состояние только для нечётных номеров \( i \), т.е. для всех \( i \), таких что \( i \equiv 1 \pmod{2} \).
3. **Третий выключатель** меняет состояние для всех мест с номерами, которые дают остаток 2 при делении на 3, т.е. для всех \( i \), таких что \( i \equiv 2 \pmod{3} \).

### Опишем систему уравнений для мест 33 и 34:
- Номер 33 нечётный, \( 33 \equiv 0 \pmod{3} \), следовательно, первый и второй выключатели изменяют его состояние.
- Номер 34 чётный, \( 34 \equiv 1 \pmod{3} \), на него влияют первый и третий выключатели.

### Шаги решения:

1. **Анализ паритета и кратности изменений:** 
   Каждое место освещается, если количество изменений его состояния нечётно. Следовательно, если для какого-то места было нечётное число нажатий, то свет включён, если чётное — то выключен.

2. **Система уравнений для мест 33 и 34**:
   - Место 33 связано с первым и вторым выключателем, а место 34 с первым и третьим выключателем. Чётное количество изменений соответствует тому, что свет в конце не горит.

### Решение:
Мы можем предположить, что включение-выключение состояния для места зависит от чётности числа изменений. В итоге, определение того, сколько мест освещено, включает вычисление общего количества изменений для каждого места.

Наконец, для нахождения общего количества мест после вечеринки, где освещение включено, нужно рассчитать паритет изменений для всех 200 мест. 



Solve a complex lighting problem using parity and modular arithmetic. 200 desks are equipped with individual lighting systems controlled by three switches, influencing states based on desk numbering. Learn how 1000 random switch presses resulted in certain desks being illuminated while others were not.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation