一百盏灯分别标号1，2，3，…100。第一个人把每盏灯的开关各拉一下，使得每一盏灯都亮了。第二个人把标号是2的倍数的灯的开关各拉一下。第三个人把标号是3的倍数的开关各拉一下…依此类推，直至第一百个人把标号为100的灯的开关拉一下。
问：最后有哪几盏灯亮着？

这个问题的关键在于理解每盏灯被拉了多少次。每一盏灯被拉的次数等于其标号的因子（包括1和它本身）的个数。

一个数的因子个数为奇数，当且仅当这个数是完全平方数。因为完全平方数如 \( n^2 \) 有一个特殊的因子 \( n \)，而其余的因子都是成对出现的。例如，36的因子是1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36，其中6是成对之外的因子。

因此，最后只有那些标号为完全平方数的灯会亮着，因为它们被拉了奇数次。

在1到100之间的完全平方数有：
\[ 1^2 = 1 \]
\[ 2^2 = 4 \]
\[ 3^2 = 9 \]
\[ 4^2 = 16 \]
\[ 5^2 = 25 \]
\[ 6^2 = 36 \]
\[ 7^2 = 49 \]
\[ 8^2 = 64 \]
\[ 9^2 = 81 \]
\[ 10^2 = 100 \]

因此，最后亮着的灯的标号是：1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100。

请问您需要更多的详细解释吗？或者有其他问题？

您可以尝试以下问题：
1. 如何证明一个数是完全平方数？
2. 什么是因子，如何计算一个数的因子个数？
3. 完全平方数的性质是什么？
4. 为什么灯的状态与因子个数有关？
5. 如果灯的总数不是100，而是一个任意数，如何解决这个问题？

小提示：对于任意正整数 \( n \)，它的因子都是成对出现的，除了当 \( n \) 是完全平方数时。

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