Untuk menentukan supremum dan infimum dari barisan $x_n = \frac{3n - 2}{2n - 1}$, kita akan melihat perilaku barisan ini ketika $n \to \infty$ dan nilai-nilai yang dapat dicapai oleh barisan untuk nilai $n$ kecil.

1. Mencari Limit untuk $n \to \infty$:

   • Ketika $n \to \infty$, kita dapat melihat bahwa bentuk umum $x_n = \frac{3n - 2}{2n - 1}$ memiliki penyebut dan pembilang yang didominasi oleh suku $n$.
   • Untuk memudahkan analisis, kita dapat mendekati bentuk ini dengan melakukan pembagian pembilang dan penyebut dengan $n$: $x_n = \frac{3n - 2}{2n - 1} = \frac{3 - \frac{2}{n}}{2 - \frac{1}{n}}.$
   • Ketika $n \to \infty$, $\frac{2}{n} \to 0$ dan $\frac{1}{n} \to 0$, sehingga: $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{3}{2}.$
   • Jadi, limit ini menunjukkan bahwa barisan mendekati nilai $\frac{3}{2}$ saat $n \to \infty$.

2. Analisis Nilai untuk Nilai-Nilai Kecil dari $n$:

   • Mari kita hitung beberapa nilai awal dari barisan ini untuk memahami perilaku nilai minimum (infimum) atau nilai maksimum (supremum) yang mungkin ada.

     • Untuk $n = 1$: $x_1 = \frac{3(1) - 2}{2(1) - 1} = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1$.
     • Untuk $n = 2$: $x_2 = \frac{3(2) - 2}{2(2) - 1} = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.
     • Untuk $n = 3$: $x_3 = \frac{3(3) - 2}{2(3) - 1} = \frac{9 - 2}{6 - 1} = \frac{7}{5} = 1.4$.
     • Untuk $n = 4$: $x_4 = \frac{3(4) - 2}{2(4) - 1} = \frac{12 - 2}{8 - 1} = \frac{10}{7} \approx 1.43$.

   • Dari sini, terlihat bahwa nilai-nilai $x_n$ mulai mendekati $\frac{3}{2}$ seiring bertambahnya $n$.

3. Menentukan Supremum dan Infimum:

   • Supremum: Nilai terbesar yang dicapai barisan ini adalah $\frac{3}{2}$, yang merupakan limit ketika $n \to \infty$.
   • Infimum: Nilai terkecil dari barisan ini adalah 1, yang diperoleh ketika $n = 1$.

   Jadi:

   • Supremum dari $x_n$ adalah $\sup(x_n) = \frac{3}{2}$.
   • Infimum dari $x_n$ adalah $\inf(x_n) = 1$.

Apakah Anda ingin melihat lebih banyak detail atau memiliki pertanyaan lain terkait soal ini?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menemukan supremum dan infimum jika barisan tidak memiliki batas atas atau bawah?
2. Apakah semua barisan konvergen memiliki supremum dan infimum yang sama?
3. Apa perbedaan antara supremum dan maksimum dalam konteks barisan?
4. Bagaimana jika barisan divergen? Apakah kita masih bisa menentukan supremum dan infimum?
5. Bagaimana menggunakan konsep limit untuk menentukan supremum dan infimum dari barisan lain?

Tip: Menentukan limit untuk $n \to \infty$ seringkali berguna dalam menemukan supremum pada barisan yang monoton atau terbatas.