Kita diberikan himpunan $\left\{ \frac{2n + (-1)^n}{2n + 1} \mid n \in \mathbb{N} \right\}$, dan diminta menentukan supremum dan infimum dari himpunan tersebut. Untuk itu, kita perlu menganalisis perilaku dari ekspresi $\frac{2n + (-1)^n}{2n + 1}$ dengan nilai $n$ dari bilangan alami ($n \in \mathbb{N}$).

Langkah 1: Memahami perilaku dari ekspresi untuk nilai $n$ yang berbeda

Ekspresi $\frac{2n + (-1)^n}{2n + 1}$ tergantung pada $n$ dan sifat dari $(-1)^n$, yang bergantian antara $1$ (untuk $n$ ganjil) dan $-1$ (untuk $n$ genap).

• Untuk $n$ ganjil ($(-1)^n = 1$): $\frac{2n + (-1)^n}{2n + 1} = \frac{2n + 1}{2n + 1} = 1$

• Untuk $n$ genap ($(-1)^n = -1$): $\frac{2n + (-1)^n}{2n + 1} = \frac{2n - 1}{2n + 1}$

Sekarang, kita lihat bahwa untuk $n$ ganjil, nilai ekspresinya selalu $1$, sedangkan untuk $n$ genap, nilai ekspresinya adalah $\frac{2n - 1}{2n + 1}$, yang mendekati $1$ seiring $n$ bertambah besar, tetapi selalu lebih kecil dari $1$.

Langkah 2: Analisis untuk $n$ genap

Kita sekarang analisis batas bawah dari ekspresi ini ketika $n$ genap. Bentuknya adalah: $\frac{2n - 1}{2n + 1}$ Untuk $n = 1$ (bilangan genap pertama): $\frac{2(1) - 1}{2(1) + 1} = \frac{1}{3}$ Untuk $n = 2$: $\frac{2(2) - 1}{2(2) + 1} = \frac{3}{5}$ Untuk $n = 3$: $\frac{2(3) - 1}{2(3) + 1} = \frac{5}{7}$ Kita lihat bahwa nilai ini meningkat mendekati 1 seiring $n$ bertambah besar. Namun, semua nilai ini tetap lebih kecil dari 1.

Langkah 3: Menentukan supremum dan infimum

• Infimum: Karena nilai ekspresi untuk $n$ genap semakin mendekati $1$ tetapi selalu lebih kecil dari 1, dan nilai terkecil dari ekspresi ini adalah $\frac{1}{3}$ saat $n = 1$, maka infimum dari himpunan ini adalah $\frac{1}{3}$.

• Supremum: Untuk $n$ ganjil, ekspresi mencapai nilai $1$. Karena tidak ada nilai dalam himpunan yang lebih besar dari $1$, maka supremum dari himpunan ini adalah 1.

Kesimpulan

• Infimum: $\frac{1}{3}$
• Supremum: $1$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya?

5 Pertanyaan Tambahan:

1. Bagaimana cara menentukan batas-batas dalam analisis limit pada himpunan bilangan?
2. Apa perbedaan antara supremum dan maksimum dalam himpunan?
3. Bagaimana perubahan pola nilai jika ekspresi diubah menjadi $\frac{2n - (-1)^n}{2n + 1}$?
4. Bagaimana cara menentukan limit pada fungsi dengan parameter bilangan ganjil dan genap?
5. Dapatkah himpunan ini memiliki supremum yang bukan bagian dari himpunan itu sendiri?

Tip: Supremum adalah batas atas terkecil, sedangkan infimum adalah batas bawah terbesar dalam suatu himpunan.