Найдите супремум и инфимум множества всех дробей вида 1/n, где n – натуральное число. Ответ следует обосновать использованием определений супремума и инфимума.

Рассмотрим множество всех дробей вида \( \frac{1}{n} \), где \( n \) — натуральное число. Это множество можно записать следующим образом:

\[
M = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \right\}
\]

### Инфимум

Инфимум множества \( M \) — это наибольшая нижняя грань множества. Заметим, что:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
\]

Однако для любого натурального \( n \) дробь \( \frac{1}{n} \) положительна, то есть никогда не равна нулю. Следовательно, \( 0 \) не принадлежит множеству \( M \), но все элементы множества \( M \) больше нуля, и ноль является нижней гранью множества. Поэтому инфимум этого множества равен 0:

\[
\inf(M) = 0
\]

### Супремум

Супремум множества \( M \) — это наименьшая верхняя грань множества. В данном случае очевидно, что наибольший элемент множества \( M \) — это \( 1 \), так как \( \frac{1}{n} \leq 1 \) для всех \( n \in \mathbb{N} \), и значение \( \frac{1}{1} = 1 \) принадлежит множеству \( M \). Следовательно, супремум множества \( M \) равен 1:

\[
\sup(M) = 1
\]

### Ответ

- Инфимум: \( \inf(M) = 0 \)
- Супремум: \( \sup(M) = 1 \)

Обоснование основано на том, что \( 0 \) является нижней гранью множества, но не принадлежит ему, а \( 1 \) — это наибольший элемент множества и верхняя грань.

---

Есть ли вопросы или нужна дополнительная информация? Вот 5 связанных вопросов:

1. Что такое точная верхняя грань множества?
2. Как определить точную нижнюю грань для произвольного множества?
3. Что такое предельная точка последовательности?
4. Как изменится супремум, если рассматривать дроби вида \( \frac{2}{n} \)?
5. Можно ли найти супремум и инфимум для множества всех дробей вида \( \frac{n}{n+1} \)?

**Совет:** При поиске супремума и инфимума всегда проверяйте, принадлежат ли грани самому множеству.

Discover how to find the supremum and infimum of the set of fractions 1/n, where n is a natural number. This problem is solved using the definitions of supremum and infimum, with detailed explanations. Suitable for students in Grades 10-12 studying real analysis.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation