Рассмотрим множество всех дробей вида $\frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число. Это множество можно записать следующим образом:

$M = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \right\}$

Инфимум

Инфимум множества $M$ — это наибольшая нижняя грань множества. Заметим, что:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

Однако для любого натурального $n$ дробь $\frac{1}{n}$ положительна, то есть никогда не равна нулю. Следовательно, $0$ не принадлежит множеству $M$, но все элементы множества $M$ больше нуля, и ноль является нижней гранью множества. Поэтому инфимум этого множества равен 0:

$\inf(M) = 0$

Супремум

Супремум множества $M$ — это наименьшая верхняя грань множества. В данном случае очевидно, что наибольший элемент множества $M$ — это $1$, так как $\frac{1}{n} \leq 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$, и значение $\frac{1}{1} = 1$ принадлежит множеству $M$. Следовательно, супремум множества $M$ равен 1:

$\sup(M) = 1$

Ответ

• Инфимум: $\inf(M) = 0$
• Супремум: $\sup(M) = 1$

Обоснование основано на том, что $0$ является нижней гранью множества, но не принадлежит ему, а $1$ — это наибольший элемент множества и верхняя грань.

---

Есть ли вопросы или нужна дополнительная информация? Вот 5 связанных вопросов:

1. Что такое точная верхняя грань множества?
2. Как определить точную нижнюю грань для произвольного множества?
3. Что такое предельная точка последовательности?
4. Как изменится супремум, если рассматривать дроби вида $\frac{2}{n}$?
5. Можно ли найти супремум и инфимум для множества всех дробей вида $\frac{n}{n+1}$?

Совет: При поиске супремума и инфимума всегда проверяйте, принадлежат ли грани самому множеству.