p(x,y)=(1/32)(x+y); x=1,2 dan y=1,2,3,4. Apakah X dan Y bebas stokastik?

Diberikan fungsi distribusi bersama \( p(x, y) = \frac{1}{32}(x + y) \) dengan \( x = 1, 2 \) dan \( y = 1, 2, 3, 4 \), kita akan mengevaluasi apakah variabel acak \( X \) dan \( Y \) bebas secara stokastik.

### Langkah-langkah:
1. **Mendefinisikan distribusi bersama**:
   Fungsi distribusi bersama diberikan oleh \( p(x, y) = \frac{1}{32}(x + y) \), yang merupakan probabilitas dari setiap pasangan \( (x, y) \).

2. **Menentukan distribusi marjinal**:
   Untuk memeriksa apakah \( X \) dan \( Y \) bebas, kita perlu menghitung distribusi marjinal dari \( X \) dan \( Y \). Variabel acak \( X \) dan \( Y \) bebas secara stokastik jika dan hanya jika:
   \[
   p(x, y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)
   \]
   di mana \( p_X(x) \) adalah distribusi marjinal dari \( X \), dan \( p_Y(y) \) adalah distribusi marjinal dari \( Y \).

3. **Menghitung distribusi marjinal \( p_X(x) \)**:
   Distribusi marjinal dari \( X \) diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas \( p(x, y) \) untuk semua nilai \( y \):
   \[
   p_X(x) = \sum_{y=1}^{4} p(x, y)
   \]
   Untuk \( x = 1 \):
   \[
   p_X(1) = \sum_{y=1}^{4} \frac{1}{32}(1 + y) = \frac{1}{32}(1+1) + \frac{1}{32}(1+2) + \frac{1}{32}(1+3) + \frac{1}{32}(1+4) 
   \]
   \[
   p_X(1) = \frac{2}{32} + \frac{3}{32} + \frac{4}{32} + \frac{5}{32} = \frac{14}{32} = \frac{7}{16}
   \]
   Untuk \( x = 2 \):
   \[
   p_X(2) = \sum_{y=1}^{4} \frac{1}{32}(2 + y) = \frac{1}{32}(2+1) + \frac{1}{32}(2+2) + \frac{1}{32}(2+3) + \frac{1}{32}(2+4)
   \]
   \[
   p_X(2) = \frac{3}{32} + \frac{4}{32} + \frac{5}{32} + \frac{6}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}
   \]

4. **Menghitung distribusi marjinal \( p_Y(y) \)**:
   Distribusi marjinal dari \( Y \) diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas \( p(x, y) \) untuk semua nilai \( x \):
   \[
   p_Y(y) = \sum_{x=1}^{2} p(x, y)
   \]
   Untuk \( y = 1 \):
   \[
   p_Y(1) = \frac{1}{32}(1+1) + \frac{1}{32}(2+1) = \frac{2}{32} + \frac{3}{32} = \frac{5}{32}
   \]
   Untuk \( y = 2 \):
   \[
   p_Y(2) = \frac{1}{32}(1+2) + \frac{1}{32}(2+2) = \frac{3}{32} + \frac{4}{32} = \frac{7}{32}
   \]
   Untuk \( y = 3 \):
   \[
   p_Y(3) = \frac{1}{32}(1+3) + \frac{1}{32}(2+3) = \frac{4}{32} + \frac{5}{32} = \frac{9}{32}
   \]
   Untuk \( y = 4 \):
   \[
   p_Y(4) = \frac{1}{32}(1+4) + \frac{1}{32}(2+4) = \frac{5}{32} + \frac{6}{32} = \frac{11}{32}
   \]

5. **Menguji independensi**:
   Sekarang kita periksa apakah \( p(x, y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) \).

   Misalnya untuk \( x = 1 \) dan \( y = 1 \):
   \[
   p(1, 1) = \frac{1}{32}(1+1) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}
   \]
   Dan \( p_X(1) \cdot p_Y(1) = \frac{7}{16} \cdot \frac{5}{32} = \frac{35}{512} \), yang tidak sama dengan \( \frac{1}{16} \).

   Karena \( p(x, y) \neq p_X(x) \cdot p_Y(y) \), maka \( X \) dan \( Y \) **tidak independen secara stokastik**.

### Kesimpulan:
Variabel acak \( X \) dan \( Y \) **tidak bebas secara stokastik**.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau contoh tambahan?

#### 5 Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara memeriksa independensi stokastik dalam kasus distribusi diskrit?
2. Bagaimana kita bisa menggeneralisasi metode ini untuk distribusi kontinu?
3. Apa perbedaan antara independensi stokastik dan korelasi nol?
4. Bagaimana cara menghitung nilai harapan untuk distribusi bersama ini?
5. Bagaimana cara menemukan kovarians antara dua variabel acak dalam distribusi ini?

#### Tip:
Ketika menguji independensi stokastik, selalu bandingkan distribusi bersama dengan hasil perkalian distribusi marjinal.

p(x, y) = (1/32)(x + y); x = 1, 2 and y = 1, 2, 3, 4. Are X and Y stochastically independent?

Explore whether the random variables X and Y are stochastically independent based on the joint distribution p(x, y) = (1/32)(x + y), with x = 1, 2 and y = 1, 2, 3, 4. Learn how to compute marginal distributions and apply the independence criterion.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation