1. A fun¸c˜ao densidade conjunta de X e Y ´e dado por
fX,Y (x, y) = 
1/2, −1 < x < 1, 0 < y < 1,
0, o.c.
(a) X e Y s˜ao independentes?. Justifique;
(b) Calcule P(X < Y ).

A função densidade conjunta de \( X \) e \( Y \) é dada por:

\[
f_{X,Y}(x, y) = 
\begin{cases} 
\frac{1}{2}, & -1 < x < 1, 0 < y < 1 \\
0, & \text{caso contrário}
\end{cases}
\]

Vamos resolver os dois itens solicitados:

---

### (a) \( X \) e \( Y \) são independentes? Justifique.

Duas variáveis aleatórias \( X \) e \( Y \) são independentes se, e somente se, a densidade conjunta \( f_{X,Y}(x, y) \) pode ser expressa como o produto das densidades marginais de \( X \) e \( Y \), ou seja:
\[
f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)
\]

#### Passo 1: Calcular as densidades marginais \( f_X(x) \) e \( f_Y(y) \).

A densidade marginal de \( X \) é obtida integrando \( f_{X,Y}(x, y) \) em relação a \( y \):
\[
f_X(x) = \int_{0}^{1} f_{X,Y}(x, y) \, dy = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dy = \frac{1}{2}
\]
Isso vale para \( -1 < x < 1 \), e \( f_X(x) = 0 \) caso contrário.

A densidade marginal de \( Y \) é obtida integrando \( f_{X,Y}(x, y) \) em relação a \( x \):
\[
f_Y(y) = \int_{-1}^{1} f_{X,Y}(x, y) \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{2} \, dx = 1
\]
Isso vale para \( 0 < y < 1 \), e \( f_Y(y) = 0 \) caso contrário.

#### Passo 2: Verificar se \( f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) \).

A função \( f_{X,Y}(x, y) = \frac{1}{2} \), enquanto o produto \( f_X(x) f_Y(y) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \). Portanto:
\[
f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)
\]
Assim, \( X \) e \( Y \) são **independentes**.

---

### (b) Calcule \( P(X < Y) \).

Para calcular \( P(X < Y) \), precisamos integrar a função densidade conjunta sobre a região onde \( x < y \), ou seja, a área do triângulo abaixo da reta \( x = y \) no retângulo definido por \( -1 < x < 1 \) e \( 0 < y < 1 \).

#### Passo 1: Descrição da região \( x < y \).

A função densidade conjunta tem suporte em \( -1 < x < 1 \) e \( 0 < y < 1 \). Para calcular a probabilidade \( P(X < Y) \), precisamos integrar sobre a região onde \( -1 < x < y \), ou seja:

- Quando \( 0 < y < 1 \), \( x \) varia de \( -1 \) até \( y \), pois estamos considerando \( x < y \).

#### Passo 2: Montar a integral para \( P(X < Y) \).

A probabilidade é dada pela integral dupla:
\[
P(X < Y) = \int_{0}^{1} \int_{-1}^{y} f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy
\]
Substituindo \( f_{X,Y}(x, y) = \frac{1}{2} \):
\[
P(X < Y) = \int_{0}^{1} \int_{-1}^{y} \frac{1}{2} \, dx \, dy
\]

#### Passo 3: Resolver a integral.

Primeiro, resolvemos a integral em \( x \):
\[
\int_{-1}^{y} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} (y - (-1)) = \frac{1}{2} (y + 1)
\]

Agora, integramos em \( y \):
\[
P(X < Y) = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} (y + 1) \, dy
\]
\[
P(X < Y) = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{1} y \, dy + \int_{0}^{1} 1 \, dy \right)
\]
\[
P(X < Y) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}
\]

Portanto, \( P(X < Y) = \frac{3}{4} \).

---

### Resumo das Respostas:

(a) \( X \) e \( Y \) são independentes.

(b) \( P(X < Y) = \frac{3}{4} \).

---

Posso te fornecer mais detalhes ou tirar dúvidas sobre algum dos passos?

### Questões Relacionadas:

1. Como a independência de duas variáveis aleatórias influencia o cálculo de probabilidades conjuntas?
2. Como encontrar a função densidade marginal a partir da função densidade conjunta?
3. Qual a interpretação geométrica da probabilidade \( P(X < Y) \) no contexto de variáveis aleatórias conjuntas?
4. Como a função de distribuição acumulada (CDF) pode ser utilizada para calcular \( P(X < Y) \)?
5. Como os limites de integração mudam quando temos outras restrições em \( X \) e \( Y \)?

### Dica:
Sempre que as variáveis aleatórias forem independentes, a função densidade conjunta se fatoriza como o produto das densidades marginais.

A função densidade conjunta de X e Y é dado por fX,Y (x, y) = 1/2, −1 < x < 1, 0 < y < 1, 0, o.c. (a) X e Y são independentes? Justifique; (b) Calcule P(X < Y).

Learn how to determine if two random variables X and Y are independent using their joint probability distribution, and calculate the probability P(X < Y). This problem covers essential concepts in probability, such as marginal distributions and double integrals. Suitable for university-level statistics students.

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