この問題は、食塩の量と濃度の変化に基づく二次方程式の問題です。3つの容器（X, Y, Z）に入っている食塩水のやりとりと、それによる濃度変化を数式化して解く必要があります。ここで与えられた条件をもとに、各容器での食塩の量を数式で表し、連立方程式を解いていきます。

問題の条件を数式化

1. Xには、$x \%$ の食塩水500gが入っている。食塩の量は： $\text{Xの食塩量} = \frac{x}{100} \times 500 = 5x \, \text{g}$

2. Yには、$y \%$ の食塩水300gが入っている。食塩の量は： $\text{Yの食塩量} = \frac{y}{100} \times 300 = 3y \, \text{g}$

3. Xから100gの食塩水をYに移したとき、Xからは$x \%$ の食塩水100gが移動するので、Yに移された食塩の量は： $\frac{x}{100} \times 100 = x \, \text{g}$ よって、Yの食塩量は $3y + x$ になります。

4. その後、Yから120gの食塩水をXに戻す。Yの食塩水は新たに混ぜられているので、食塩濃度は変化しています。Yの濃度は、食塩量 $3y + x$ と総量400g（300g + 100g）に基づいて求められます。Yの新しい濃度は： $\frac{3y + x}{400}$ この濃度の食塩水120gをXに戻すので、Xに戻る食塩の量は： $\frac{3y + x}{400} \times 120 = \frac{3y + x}{10}$ よって、Xに戻る食塩の量は $\frac{3y + x}{10}$ g です。

5. 最終的に、XとYの食塩量が等しくなるという条件から、Xに残る食塩の量は： $5x - x + \frac{3y + x}{10} = 4x + \frac{3y + x}{10}$ Yの食塩量は： $3y + x - \frac{3y + x}{10} = \frac{9(3y + x)}{10}$ よって、XとYの食塩量が等しい条件を方程式にすると： $4x + \frac{3y + x}{10} = \frac{9(3y + x)}{10}$

6. 次に、Zに入れる食塩水の問題を考えます。Xから $x \%$ の食塩水 $10x$ g、Yから $y \%$ の食塩水 $10y$ gを取り出してZに入れたとき、8％の食塩水ができるという条件があります。これは次のように表せます： $\frac{x}{100} \times 10x + \frac{y}{100} \times 10y = \frac{8}{100} \times (10x + 10y + 40)$

解法

これらの2つの方程式を解いて、$x$ と $y$ の値を求めます。

まず、以下の方程式を簡略化して解きます：

1. $4x + \frac{3y + x}{10} = \frac{9(3y + x)}{10}$
2. $\frac{x}{100} \times 10x + \frac{y}{100} \times 10y = \frac{8}{100} \times (10x + 10y + 40)$

この式を解いてみます。解いた結果、以下の2組の解が得られました：

1. $x = -1.42$, $y = -1.89$
2. $x = 8.14$, $y = 10.85$

物理的な問題において、濃度や量は正の値でなければならないため、負の値は現実的では