この問題では、3つの容器における食塩水の濃度の関係を使って、数式を立てて解いていきます。まず、問1の解答を求め、次に問2の解答を求めます。

問1　$x$ を $y$ の式で表せ

まず、操作1について考えます。

• 容器Aには $x\%$ の食塩水が120g入っており、容器Bには $y\%$ の食塩水が120g入っています。
• 操作1では、容器Aから30g、容器Bから90gの食塩水を容器Cに移しました。
• このとき、容器Cの食塩水の濃度が9%になったことがわかっています。

操作1後の容器Cの濃度について:

1. 容器Aから取り出された食塩の質量：

   • 容器Aの30gの食塩水に含まれる食塩の量は、 $\frac{x}{100} \times 30$ g です。

2. 容器Bから取り出された食塩の質量：

   • 容器Bの90gの食塩水に含まれる食塩の量は、 $\frac{y}{100} \times 90$ g です。

3. 容器Cの食塩の総質量：

   • 容器Cに入れた合計食塩の量は、 $\frac{x}{100} \times 30 + \frac{y}{100} \times 90$ g です。

4. 容器Cの総量：

   • 容器Cには、30g + 90g = 120gの食塩水が入っています。

5. 濃度9%であることから、容器Cの食塩の質量は $\frac{9}{100} \times 120 = 10.8$ g です。

式を立てる:

$\frac{x}{100} \times 30 + \frac{y}{100} \times 90 = 10.8$ この式を整理すると、 $\frac{30x}{100} + \frac{90y}{100} = 10.8$ 両辺に100をかけて、次の式が得られます： $30x + 90y = 1080$ 両辺を30で割ると、 $x + 3y = 36 \quad \cdots \quad (1)$ これで、 $x$ を $y$ の式で表すことができます。 $x = 36 - 3y$

問2　$x$ と $y$ の値を求めよ

次に、操作2について考えます。

• 操作1のあと、容器Cの中身を半分こぼしたので、容器Cに残っている食塩水の質量は $\frac{120}{2} = 60$ g です。
• 操作2では、容器Bに残っていた食塩水すべて（容器Bの残量は90g）と200gの水を容器Cに入れました。
• これにより、容器Cの食塩水の総量は $60 + 90 + 200 = 350$ g となります。
• 操作2後の容器Cの食塩水の濃度が、容器Aの食塩水の濃度 $x \%$ と等しくなると仮定します。

操作2後の容器Cの濃度について:

1. 容器Cに残った60gの食塩水に含まれる食塩の質量は、操作1後の容器Cの濃度が9%なので、 $\frac{9}{100} \times 60 = 5.4$ g です。

2. 容器Bに残っていた90gの食塩水に含まれる食塩の質量は、 $\frac{y}{100} \times 90$ g です。

3. 操作2後の容器Cの食塩の総質量は、次の通りです： $5.4 + \frac{y}{100} \times 90$

4. 操作2後の容器Cの総質量は350gなので、容器Cの濃度は $x\%$ と等しくなります。したがって、容器Cの食塩の質量は $\frac{x}{100} \times 350$ g です。

式を立てる:

$5.4 + \frac{90y}{100} = \frac{x}{100} \times 350$ これを整理して次のようになります： $5.4 + 0.9y = 3.5x$ ここで、問1で $x = 36 - 3y$ であったので、これを代入します： $5.4 + 0.9y = 3.5(36 - 3y)$ 式を展開すると、 $5.4 + 0.9y = 126 - 10.5y$ 両辺を整理すると、 $0.9y + 10.5y = 126 - 5.4$ $11.4y = 120.6$ $y = \frac{120.6}{11.4} = 10.58$ よって、$y = 10.58 \%$ です。

これを $x = 36 - 3y$ に代入すると： $x = 36 - 3 \times 10.58 = 36 - 31.74 = 4.26$ よって、$x = 4.26\%$ です。

---

結果:

• $x = 4.26\%$
• $y = 10.58\%$

質問があればどうぞ！また、この問題に関連した以下の質問にも取り組んでみてください。

1. 食塩水の濃度を計算する際に、単位の扱いで注意すべき点は？
2. 濃度の異なる食塩水を混ぜるとき、全体の濃度を求める基本的な方法は？
3. 操作2で200gの水を加えた理由を説明できますか？
4. 食塩水の質量保存則に基づく濃度変化の仕組みは？
5. 他の操作パターンでは、どのような濃度変化が起こるか考察できますか？

Tip: 食塩水の濃度問題では、質量と濃度をしっかり対応させて式を立てることが大事です。