この問題では、二次方程式を用いて、XおよびYの食塩濃度 $x \%$ と $y \%$ の値を求めます。以下はこの問題の解法のステップです。

ステップ1：変数の設定

• 容器Xには $x\%$ の食塩水が500gあるので、容器Xに含まれる食塩の量は $\frac{x}{100} \times 500 = 5x \, \text{g}$
• 容器Yには $y\%$ の食塩水が300gあるので、容器Yに含まれる食塩の量は $\frac{y}{100} \times 300 = 3y \, \text{g}$

ステップ2：XからYに食塩水を移動

• 容器Xから食塩水100gをYに移すので、容器Xに残る食塩水の量は $400g$。 Xから移す食塩の量は $\frac{x}{100} \times 100 = x \, \text{g}$
• 移動後、Yに移された食塩の量 $x \, \text{g}$ を加えるので、Yの総食塩量は $3y + x \, \text{g}$ また、Yの総重量は $400g$ になります。

ステップ3：YからXに食塩水を戻す

• Yから120gの食塩水をXに戻すと、Yの食塩濃度は $\frac{3y + x}{400} \, \text{g}$ よって、Yから戻される食塩の量は $\frac{3y + x}{400} \times 120 = \frac{3y + x}{10} \, \text{g}$
• これをXに戻すので、Xの食塩の総量は $4x - x + \frac{3y + x}{10} = 4x - x + \frac{3y + x}{10} \, \text{g}$

ステップ4：食塩の量が等しくなる条件

この時点で、XとYの食塩の量が等しくなるという条件を使います。食塩の量が等しいという条件から、次の方程式が成り立ちます： $4x - x + \frac{3y + x}{10} = 3y + x - \frac{3y + x}{10}$

これを整理して方程式を解きます。まず両辺に $10$ をかけて分数を無くします： $10(4x - x) + (3y + x) = 10(3y + x) - (3y + x)$

さらに展開・整理して、二次方程式を作ります。

ステップ5：Zに入れる食塩水の条件

もう一つの条件として、Xから取り出した $10x \, \text{g}$ とYから取り出した $10y \, \text{g}$ をZに入れた結果、8%の食塩水になるという条件が与えられています。この条件を元に、もう1つの方程式を作成し、二つの連立方程式を解きます。

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これらの計算により、$x$ および $y$ の値を求めることが可能です。計算に進みますか？