Tentukan nilai limit berikut
(a) lim
x→3
x
2−5x+6
x2−4x+3
(b) lim
t→−1
t
3−4t
2+t+6
t+1

Mari kita tentukan nilai limit dari soal yang diberikan:

### (a) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 3}\)

Langkah-langkah:

1. **Substitusi langsung**: Coba substitusikan \(x = 3\) ke dalam fungsi.

   \[
   \frac{3^2 - 5 \cdot 3 + 6}{3^2 - 4 \cdot 3 + 3} = \frac{9 - 15 + 6}{9 - 12 + 3} = \frac{0}{0}
   \]

   Karena hasilnya \(\frac{0}{0}\), kita harus melakukan faktorisasi.

2. **Faktorisasi pembilang dan penyebut**:

   \[
   x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
   \]

   \[
   x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
   \]

3. **Menyederhanakan fungsi**:

   \[
   \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{x - 2}{x - 1}
   \]

   Setelah menyederhanakan, kita menghilangkan faktor yang sama yaitu \((x - 3)\).

4. **Substitusi nilai \(x = 3\)**:

   \[
   \lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}
   \]

Jadi, nilai limitnya adalah \(\frac{1}{2}\).

### (b) \(\lim_{t \to -1} \frac{t^3 - 4t^2 + t + 6}{t + 1}\)

Langkah-langkah:

1. **Substitusi langsung**: Coba substitusikan \(t = -1\) ke dalam fungsi.

   \[
   \frac{(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6}{-1 + 1} = \frac{-1 - 4 - 1 + 6}{0} = \frac{0}{0}
   \]

   Karena hasilnya \(\frac{0}{0}\), kita harus melakukan faktorisasi.

2. **Faktorisasi pembilang**:

   Pembilang \(t^3 - 4t^2 + t + 6\) dapat difaktorkan menjadi:

   \[
   t^3 - 4t^2 + t + 6 = (t + 1)(t^2 - 5t + 6)
   \]

   Lalu faktorkan \(t^2 - 5t + 6\):

   \[
   t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)
   \]

   Jadi, pembilang menjadi:

   \[
   (t + 1)(t - 2)(t - 3)
   \]

3. **Menyederhanakan fungsi**:

   \[
   \frac{(t + 1)(t - 2)(t - 3)}{t + 1} = (t - 2)(t - 3)
   \]

   Setelah menyederhanakan, kita menghilangkan faktor yang sama yaitu \((t + 1)\).

4. **Substitusi nilai \(t = -1\)**:

   \[
   \lim_{t \to -1} (t - 2)(t - 3) = (-1 - 2)(-1 - 3) = (-3)(-4) = 12
   \]

Jadi, nilai limitnya adalah \(12\).

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang bisa membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana cara menentukan limit jika hasil substitusi langsung tidak dalam bentuk \(\frac{0}{0}\)?
2. Mengapa diperlukan faktorisasi dalam kasus limit yang menghasilkan \(\frac{0}{0}\)?
3. Apa yang dimaksud dengan penyederhanaan fungsi dalam perhitungan limit?
4. Bagaimana cara mengatasi limit yang melibatkan fungsi yang lebih kompleks?
5. Apa perbedaan antara metode substitusi langsung dan faktorisasi dalam mencari limit?

**Tip:** Jika Anda menemukan bentuk \(\frac{0}{0}\) saat mencari limit, periksalah kemungkinan untuk memfaktorkan pembilang dan penyebut untuk menyederhanakan perhitungan!

Tentukan nilai limit berikut (a) lim x→3 x^2−5x+6 / x^2−4x+3 (b) lim t→−1 t^3−4t^2+t+6 / t+1

Discover how to solve polynomial limits using factoring techniques. We cover key steps for limits involving indeterminate forms like 0/0, focusing on examples such as lim x→3 (x^2−5x+6)/(x^2−4x+3) and lim t→−1 (t^3−4t^2+t+6)/(t+1). Suitable for Grades 11-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation