Mari kita tentukan nilai limit dari soal yang diberikan:

(a) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 3}$

Langkah-langkah:

1. Substitusi langsung: Coba substitusikan $x = 3$ ke dalam fungsi.

   $\frac{3^2 - 5 \cdot 3 + 6}{3^2 - 4 \cdot 3 + 3} = \frac{9 - 15 + 6}{9 - 12 + 3} = \frac{0}{0}$

   Karena hasilnya $\frac{0}{0}$, kita harus melakukan faktorisasi.

2. Faktorisasi pembilang dan penyebut:

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

3. Menyederhanakan fungsi:

   $\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{x - 2}{x - 1}$

   Setelah menyederhanakan, kita menghilangkan faktor yang sama yaitu $(x - 3)$.

4. Substitusi nilai $x = 3$:

   $\lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{2}$.

(b) $\lim_{t \to -1} \frac{t^3 - 4t^2 + t + 6}{t + 1}$

Langkah-langkah:

1. Substitusi langsung: Coba substitusikan $t = -1$ ke dalam fungsi.

   $\frac{(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6}{-1 + 1} = \frac{-1 - 4 - 1 + 6}{0} = \frac{0}{0}$

   Karena hasilnya $\frac{0}{0}$, kita harus melakukan faktorisasi.

2. Faktorisasi pembilang:

   Pembilang $t^3 - 4t^2 + t + 6$ dapat difaktorkan menjadi:

   $t^3 - 4t^2 + t + 6 = (t + 1)(t^2 - 5t + 6)$

   Lalu faktorkan $t^2 - 5t + 6$:

   $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)$

   Jadi, pembilang menjadi:

   $(t + 1)(t - 2)(t - 3)$

3. Menyederhanakan fungsi:

   $\frac{(t + 1)(t - 2)(t - 3)}{t + 1} = (t - 2)(t - 3)$

   Setelah menyederhanakan, kita menghilangkan faktor yang sama yaitu $(t + 1)$.

4. Substitusi nilai $t = -1$:

   $\lim_{t \to -1} (t - 2)(t - 3) = (-1 - 2)(-1 - 3) = (-3)(-4) = 12$

Jadi, nilai limitnya adalah $12$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang bisa membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana cara menentukan limit jika hasil substitusi langsung tidak dalam bentuk $\frac{0}{0}$?
2. Mengapa diperlukan faktorisasi dalam kasus limit yang menghasilkan $\frac{0}{0}$?
3. Apa yang dimaksud dengan penyederhanaan fungsi dalam perhitungan limit?
4. Bagaimana cara mengatasi limit yang melibatkan fungsi yang lebih kompleks?
5. Apa perbedaan antara metode substitusi langsung dan faktorisasi dalam mencari limit?

Tip: Jika Anda menemukan bentuk $\frac{0}{0}$ saat mencari limit, periksalah kemungkinan untuk memfaktorkan pembilang dan penyebut untuk menyederhanakan perhitungan!