Tentukan nilai limit berikut
(a) lim
x→3
(b) lim
t→−1
x2
−5x+6
x2
t3
−4x+3
−4t2+t+6
t+1

Mari kita pecahkan kedua limit berikut.

### (a) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}\)

1. Substitusi langsung \(x = 3\) ke dalam ekspresi:
   \[
   \frac{3^2 - 5(3) + 6}{3^2 - 4} = \frac{9 - 15 + 6}{9 - 4} = \frac{0}{5} = 0
   \]
   Jadi, \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = 0\).

### (b) \(\lim_{t \to -1} \frac{t^3 - 4t^2 + t + 6}{t + 1}\)

1. Coba substitusi langsung \(t = -1\) ke dalam ekspresi:
   \[
   \frac{(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6}{-1 + 1} = \frac{-1 - 4 - 1 + 6}{0} = \frac{0}{0}
   \]
   Ini adalah bentuk tak tentu, jadi kita harus menggunakan faktorisasi atau aturan L'Hôpital.

2. Faktorisasi pembilang:
   Coba faktorisasi \(t^3 - 4t^2 + t + 6\). Kita gunakan metode tebak bagi sintetik atau faktorisasi manual:
   \[
   t^3 - 4t^2 + t + 6 = (t + 1)(t^2 - 5t + 6)
   \]
   Dengan faktorisasi \(t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)\), kita punya:
   \[
   t^3 - 4t^2 + t + 6 = (t + 1)(t - 2)(t - 3)
   \]

3. Sederhanakan limit dengan membatalkan faktor \((t + 1)\):
   \[
   \lim_{t \to -1} \frac{(t + 1)(t - 2)(t - 3)}{t + 1} = \lim_{t \to -1} (t - 2)(t - 3)
   \]

4. Substitusi \(t = -1\):
   \[
   (-1 - 2)(-1 - 3) = (-3)(-4) = 12
   \]

Jadi, \(\lim_{t \to -1} \frac{t^3 - 4t^2 + t + 6}{t + 1} = 12\).

### Kesimpulan:
- (a) \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = 0\)
- (b) \(\lim_{t \to -1} \frac{t^3 - 4t^2 + t + 6}{t + 1} = 12\)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

#### Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara menggunakan aturan L'Hôpital untuk menyelesaikan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \)?
2. Apa syarat-syarat agar limit suatu fungsi bisa dihitung menggunakan substitusi langsung?
3. Bagaimana jika limit suatu fungsi tidak bisa difaktorkan? Apakah ada metode lain yang bisa digunakan?
4. Apa hubungan antara limit dan kekontinuan fungsi di suatu titik?
5. Bagaimana cara membedakan antara limit kiri dan limit kanan pada titik tertentu?

#### Tip:
Faktorisasi adalah salah satu teknik yang sangat berguna untuk menyederhanakan limit yang menghasilkan bentuk tak tentu.

Tentukan nilai limit berikut: (a) lim x→3 (x^2 − 5x + 6) / (x^2 − 4) (b) lim t→−1 (t^3 − 4t^2 + t + 6) / (t + 1)

Solve limits involving polynomials, including factoring and handling indeterminate forms using L'Hôpital's Rule. Explore step-by-step solutions for limits such as lim x→3 (x^2 − 5x + 6) / (x^2 − 4) and lim t→−1 (t^3 − 4t^2 + t + 6) / (t + 1). Suitable for Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation