Aquí tienes tres ejemplos similares a $\lim_{x \to a} \frac{x+3}{x^2 - 3x + 18}$, con sus respectivas factorizaciones y sustituciones:

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1. Ejemplo: $\lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6}$

Paso 1: Factorización del denominador

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Paso 2: Sustitución directa

Sustituimos $x = 2$:

$\frac{2 + 1}{(2 - 2)(2 - 3)} = \frac{3}{0}$

Dado que obtenemos una división por cero, el límite no existe o tiende a infinito dependiendo del comportamiento al aproximarse a $x = 2$ desde diferentes lados.

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2. Ejemplo: $\lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x^2 - 9}$

Paso 1: Factorización del denominador

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Paso 2: Sustitución directa

Sustituimos $x = 3$:

$\frac{3 - 1}{(3 - 3)(3 + 3)} = \frac{2}{0}$

De nuevo, obtenemos una división por cero, lo que indica que el límite no existe o tiende a infinito dependiendo de la aproximación.

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3. Ejemplo: $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}$

Paso 1: Factorización del numerador y denominador

Numerador: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

Denominador: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

Paso 2: Sustitución directa

Sustituimos $x = -2$:

$\frac{(-2 + 2)^2}{(-2 + 2)(-2 - 2)} = \frac{0}{0}$

Como obtenemos la forma indeterminada $0/0$, podemos simplificar cancelando el factor común $(x + 2)$:

$\lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)^2}{(x + 2)(x - 2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x - 2}$

Ahora, al sustituir $x = -2$:

$\frac{-2 + 2}{-2 - 2} = \frac{0}{-4} = 0$

Por lo tanto, el límite es 0.

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¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles sobre algún paso?

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Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se simplifican expresiones con la indeterminación $0/0$ usando factorización?
2. ¿Cómo se determinan los límites laterales cuando el denominador tiende a cero?
3. ¿Qué otras técnicas pueden usarse cuando la factorización no es directa?
4. ¿Qué ocurre si obtenemos formas indeterminadas como $\infty/\infty$?
5. ¿Cuáles son los pasos para aplicar la regla de L'Hopital en límites?

Tip: Cuando encuentres la indeterminación $0/0$, siempre revisa si puedes simplificar factorizando o utilizando otras técnicas como la regla de L'Hopital.