Bài 1.19. Cho tam giác ABC có A là góc tù, AB 4, AC = 5,S = 4V6. Tính BC và bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác ABC. 


Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Sử dụng công thức diện tích tam giác để tính độ dài cạnh BC
Diện tích tam giác \( S \) được cho bởi công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \angle BAC
\]
Ta biết \( S = 4\sqrt{6} \), \( AB = 4 \), \( AC = 5 \). Ta có thể viết lại công thức như sau:
\[
4\sqrt{6} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin \angle BAC
\]
Giải phương trình này để tìm \( \sin \angle BAC \):
\[
4\sqrt{6} = 10 \times \sin \angle BAC \Rightarrow \sin \angle BAC = \frac{4\sqrt{6}}{10} = \frac{2\sqrt{6}}{5}
\]

### Bước 2: Sử dụng định lý cosin để tính độ dài cạnh BC
Theo định lý cosin:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \angle BAC
\]
Vì \( \cos \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BAC} \), ta có:
\[
\sin^2 \angle BAC = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{24}{25} \Rightarrow \cos^2 \angle BAC = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}
\]
Do đó:
\[
\cos \angle BAC = \frac{1}{5}
\]
Thay vào định lý cosin:
\[
BC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \times 4 \times 5 \times \frac{1}{5} = 16 + 25 - 8 = 33 \Rightarrow BC = \sqrt{33}
\]

### Bước 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) và nội tiếp \( r \)
1. **Bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \)**:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Trong đó, \( a = BC = \sqrt{33} \), \( b = AC = 5 \), \( c = AB = 4 \), và \( S = 4\sqrt{6} \). Ta tính:
\[
R = \frac{4 \times 5 \times \sqrt{33}}{4 \times 4\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{33}}{4\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{33}}{4\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{198}}{24}
\]
2. **Bán kính đường tròn nội tiếp \( r \)**:
\[
r = \frac{S}{p}
\]
Trong đó \( p \) là nửa chu vi tam giác:
\[
p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{4 + 5 + \sqrt{33}}{2} = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}
\]
Do đó:
\[
r = \frac{4\sqrt{6}}{\frac{9 + \sqrt{33}}{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{9 + \sqrt{33}}
\]

### Kết quả
- Độ dài cạnh \( BC = \sqrt{33} \)
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R = \frac{5\sqrt{198}}{24} \)
- Bán kính đường tròn nội tiếp \( r = \frac{8\sqrt{6}}{9 + \sqrt{33}} \)

Bạn có muốn giải thích chi tiết hơn không? Sau đây là 5 câu hỏi mở rộng liên quan:

1. Làm thế nào để tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh?
2. Định lý cosin được sử dụng trong trường hợp nào?
3. Định nghĩa và ý nghĩa của bán kính đường tròn ngoại tiếp là gì?
4. Công thức Heron và ứng dụng của nó trong việc tính diện tích tam giác.
5. Phân biệt giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác.

**Mẹo:** Khi giải các bài toán về tam giác, hãy nhớ rằng định lý cosin và định lý sin là công cụ mạnh mẽ để tính các cạnh và góc còn lại khi chỉ biết một phần thông tin về tam giác.

Learn how to solve the triangle problem with given sides AB = 4, AC = 5, and area S = 4√6. Calculate BC length, circumcircle radius R, and incircle radius r using trigonometry and the Law of Cosines. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation