لحل التكامل المحدد في الصورة، نبدأ بتحليل التكامل:

$\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy$

سوف نستخدم طريقة التكامل بالتعويض. نبدأ بتعريف متغير جديد $u$:

$u = y + 2$

بعد ذلك، نحسب التفاضل $du$:

$du = dy$

ولتحويل التكامل بشكل كامل إلى متغير $u$، نحتاج أيضًا لتحويل $y$:

$y = u - 2$

وبالتالي، يصبح التكامل:

$\int (u - 2)^2 \cdot u^{\frac{1}{4}} \, du$

نقوم الآن بتوزيع $(u - 2)^2$:

$(u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4$

يصبح التكامل:

$\int (u^2 - 4u + 4) \cdot u^{\frac{1}{4}} \, du$

نقوم الآن بتوزيع $u^{\frac{1}{4}}$:

$\int u^2 \cdot u^{\frac{1}{4}} - 4u \cdot u^{\frac{1}{4}} + 4 \cdot u^{\frac{1}{4}} \, du$

أي:

$\int u^{2 + \frac{1}{4}} - 4u^{1 + \frac{1}{4}} + 4u^{\frac{1}{4}} \, du$

نقوم الآن بتبسيط القوى:

$\int u^{\frac{9}{4}} - 4u^{\frac{5}{4}} + 4u^{\frac{1}{4}} \, du$

نقوم الآن بحساب كل جزء على حدة:

$\int u^{\frac{9}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{9}{4} + 1}}{\frac{9}{4} + 1} = \frac{u^{\frac{13}{4}}}{\frac{13}{4}} = \frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}}$

$\int u^{\frac{5}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{5}{4} + 1}}{\frac{5}{4} + 1} = \frac{u^{\frac{9}{4}}}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$

$\int u^{\frac{1}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$

نجمع النتائج مع أخذ المعاملات في الحسبان:

$\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy = \frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} - 4 \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + 4 \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

نعيد الآن تحويل المتغير $u$ إلى $y$:

$u = y + 2$

يصبح الحل النهائي:

$\frac{4}{13} (y + 2)^{\frac{13}{4}} - \frac{16}{9} (y + 2)^{\frac{9}{4}} + \frac{16}{5} (y + 2)^{\frac{5}{4}} + C$

هل ترغب في تفاصيل إضافية أو أي توضيحات أخرى؟ إليك بعض الأسئلة المتقدمة التي يمكنك التفكير بها:

1. كيف يتم استخدام التكامل بالتعويض في حل التكاملات المعقدة؟
2. ما هي الطرق الأخرى لحل هذا النوع من التكاملات؟
3. ما هو الدور الذي يلعبه الثابت $C$ في الحل النهائي؟
4. كيف يمكن التحقق من صحة الحل النهائي؟
5. هل يمكن استخدام هذه الطريقة لحل تكاملات ذات أشكال مختلفة؟
6. كيف يمكن تبسيط حل التكاملات باستخدام برامج الحاسوب؟
7. ما هي العلاقة بين التكاملات والمشتقات في علم التفاضل والتكامل؟
8. كيف يمكن استخدام التكاملات في تطبيقات الحياة الواقعية؟

نصيحة: عندما تحل التكاملات المعقدة، حاول دائمًا أن تتحقق من الحل عن طريق الاشتقاق. إذا حصلت على التكامل الأصلي بعد الاشتقاق، فهذا يعني أن الحل صحيح.